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2021학년도 대학수학능력시험 대비

2020학년도 3월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수학 ‘가’형 정답

1	④	2	①	3	①	4	③	5	②
6	⑤	7	①	8	④	9	④	10	④
11	⑤	12	①	13	②	14	⑤	15	③
16	②	17	③	18	②	19	③	20	②
21	⑤	22	[eqn: 22]	23	[eqn: 32]	24	[eqn: 86]	25	[eqn: 21]
26	[eqn: 80]	27	[eqn: 8]	28	[eqn: 40]	29	[eqn: 164]	30	[eqn: 432]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 계산한다.

[eqn: 8^{` 4 over 3 } times 2^{`-2}][eqn: = left(2^{`3} right)^{` 4 over 3 } times 2^{`-2}][eqn: = 2^{`4} times 2^{`-2}][eqn: = 2^{`4-2}][eqn: =2^{`2}][eqn: =4]

2. [출제의도] 등차수열의 일반항을 구한다.

등차수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하자.

[eqn: a_{`2} = a+d =5], [eqn: a_{`5} = a+4d=11]

에서 [eqn: a=3], [eqn: d=2]

따라서 [eqn: a_{`8} = a+7d = 3+ 7 times 2 = 17]

3. [출제의도] 수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n `rarrow` INF} {LEFT ( sqrt {4n ^{`2} +2n+1} - sqrt {4n ^{`2} -2n-1} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n `->` INF } {{LEFT ( 4n ^{`2} +2n+1 RIGHT ) - LEFT ( 4n ^{`2} -2n-1 RIGHT )} over {sqrt {4n ^{`2} +2n+1} + sqrt {4n ^{`2} -2n-1}}}]

[eqn: = lim _{n `-> ` INF } {{4n+2} over {sqrt {4n ^{`2} +2n+1} + sqrt {4n ^{`2} -2n-1}}}]

[eqn: = lim _{n `->` INF } {{4+ {2} over {n}} over {sqrt {4+ {2} over {n} + {1} over {n ^{`2}}} + sqrt {4- {2} over {n} - {1} over {n ^{`2}}}}}]

[eqn: = {4} over {sqrt {4} + sqrt {4}}][eqn: =1]

4. [출제의도] 미분계수의 정의를 이해하여 미분계수의 값을 구한다.

다항함수 [eqn: f (x ) `]는 [eqn: x=2`]에서 미분가능하다.

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f ( 2+2h ) -f ( 2 )} over {h}} `]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {LEFT { {f(2+2h)-f(2)} over {2h} TIMES 2 RIGHT }} `]

[eqn: =2 ` lim_{h` -> `0} {{f ( 2+2h ) -f ( 2 )} over {2h}][eqn: =2f`prime ( 2 )]

[eqn: f`prime ( x ) =3x ^{`2} -4x`]이므로

[eqn: f`prime(2)=3 times 2^{`2} -4 times 2][eqn: =4]

따라서 구하는 값은

[eqn: 2f`prime(2) = 2 times 4 =8]

5. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이해한다.

[eqn: a_{`1} = S_{`1} = it-1]

[eqn: n ge 2`]일 때

[eqn: a _{`n}][eqn: =S _{`n} -S _{`n-1}]
[eqn: = LEFT ( 2n ^{`2} -3n RIGHT ) - LEFT { 2 LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{`2} -3 LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =4n-5]

그러므로 [eqn: a_{`n} = 4n-5 `][eqn: left (n ge 1 right)]

[eqn: a _{`n} >100`]에서
[eqn: 4n-5>100]

[eqn: n> {105} over {4} =26.`cdots]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 27`]이다.

6. [출제의도] 로그함수의 성질을 이해하여 로그가 포함된 부등식을 해결한다.

진수 조건에 의해

[eqn: n^{` 2} - 9 n + 18 >0], [eqn: left(n -6 right) left (n-3 right)][eqn: >0]

[eqn: n<3] 또는 [eqn: n>6] [eqn: cdotscdots]　㉠

[eqn: log _{`18} ` LEFT ( n ^{`2} -9n+18 RIGHT ) <1`]에서

[eqn: n^{2`} -9n +18 < 18`]이므로

[eqn: n ^{`2} -9n<0], [eqn: n left(n-9 right)<0]

[eqn: 0< n< 9] [eqn: cdotscdots]　㉡

㉠, ㉡을 모두 만족시키는 [eqn: n`]의 값의 범위는

[eqn: 0< n < 3] 또는 [eqn: 6<n<9]

이를 만족시키는 자연수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 7], [eqn: 8`]이므로

구하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은

[eqn: 1+2+7+8 = 18]

7. [출제의도] 중복순열을 이해하여 경우의 수를 구한다.

천의 자리의 수가 [eqn: 1`]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_{4} smallprod _{3} =4 ^{`3} =64]

천의 자리의 수가 [eqn: 2`]이고 백의 자리의 수가 [eqn: 0`]인

네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_{4} smallprod _{2} =4 ^{`2} =16]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 64+16=80]

8. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이해하고 극한값을 구한다.

[eqn: x-1=t`]라 하면 [eqn: x`->`0+`]일 때, [eqn: t `-> ` -1+`]이므로

[eqn: lim_{x`->`0+} f(x-1)][eqn: = lim_{t` ->` -1+ } f(t)][eqn: =it-1]

[eqn: f(x)=s`]라 하면 [eqn: x`-> `1+`]일 때, [eqn: s` -> ` it -1-`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( f(x) RIGHT ) }`][eqn: = lim _{s` -> `-1-} {} f(s)][eqn: =2]

따라서

[eqn: lim_{x`->`0+} f(x-1) +lim_ {x ` -> ` 1+ } f left ( f(x) right) `][eqn: = it left( -1 right)+2 =1]

9. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 항을 추론한다.

수열의 귀납적 정의에 따라 각 항을 구하면

[eqn: a _{`1} =7], [eqn: a _{`2} = {7+3} over {2} =5], [eqn: a _{`3} = {5+3} over {2} =4],

[eqn: a _{`4} =4+3=7], [eqn: a _{`5} = {7+3} over {2} =5], [eqn: a _{`6} = {5+3} over {2} =4],

[eqn: a _{`7} =4+6=10], [eqn: a _{`8} =10+7=17]

10. [출제의도] 정적분을 이용하여 넓이를 계산한다.

[eqn: x<0`]일 때, 점 [eqn: rmA`]에서 두 함수 [eqn: y=ax^{`2} +2]와

[eqn: y= it -2x`]의 그래프가 접하므로

[eqn: ax ^{`2} +2= it -2x], 즉 [eqn: ax ^{`2} +2x+2=0] [eqn: CDOTS CDOTS]　㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =1-2a=0]

[eqn: a= {1} over {2}`]이므로 접점 [eqn: rmA`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -2`]이다.

점 [eqn: rmB`]는 점 [eqn: rmA`]와 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

접점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2`]이다.

주어진 두 함수의 그래프가 모두 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는

[eqn: 2 times int_0 ^2 { left(1 over2 x^{`2} +2 -2x right) dx]

[eqn: = 2 times left[ 1 over6 x^{`3} +2x-x^{`2} right] _0 ^2][eqn: = 2 times 4 over 3][eqn: = 8 over 3]

11. [출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이해하여 경우의 수를 구한다.

흰 공 [eqn: 2`]개, 빨간 공 [eqn: 2`]개, 검은 공 [eqn: 4`]개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: { 8! } over { 2! times 2! times 4! }][eqn: =420]

흰 공 [eqn: 2`]개를 하나로 보고 [eqn: 7`]개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {7!} over {2!times4!} =105]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 420-105=315]

12. [출제의도] 함수의 연속에 대한 성질을 이해한다.

[eqn: h ( x ) =f(x)g(x)`]라 하자.

[eqn: x!=1`]일 때, 두 함수 [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]는 연속이므로
함수 [eqn: h(x)`]도 연속이다.

그러므로 함수 [eqn: h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 함수 [eqn: h(x)`]가 [eqn: x= 1`]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{ x`->`1- } {h(x) } = lim _{ x`->`1- } {2x^{`3} +ax+b}over x-1`]의 값이 존재하므로

[eqn: 2+a+b =0], 즉 [eqn: b = it -a-2`]

[eqn: lim _{ x`->`1- } {h(x) }][eqn: = lim _{ x`->`1- } { 2x^{`3} +ax -a-2}over x-1]
[eqn: = lim _{ x`->`1- } { left(x-1 right) left(2x^{`2} +2x +a+2 right)}over x-1]
[eqn: = lim _{ x->1- } { (2x^{`2} + 2x +a+2)][eqn: = a+6]

[eqn: lim _{ x`->`1+ } {h(x) }][eqn: = lim _{ x`->`1+ } { 2x^{`3} +ax -a-2}over 2x+1]
[eqn: = lim _{ x`->`1+} { left(x-1 right) left(2x^2 + 2x +a+2 right)}over 2x+1 =0`]

[eqn: lim _{ x`->`1+ } {h(x) }][eqn: = lim _{ x`->`1-} h(x) = h(1)`]이므로

[eqn: a+6=0], 즉 [eqn: a=it-6]

[eqn: b][eqn: = it-a -2 `]에서 [eqn: b=4]

따라서 [eqn: b-a = 10]

13. [출제의도] 등비수열의 성질을 이해하여 수열의 항을 구한다.

등비수열 [eqn: left{ a _{`n} right}`]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]라 하자.

조건 (가)에서 [eqn: ar^{`2} times ar^{`4} times ar^{`6} =125`]
[eqn: left( ar^{`4} right)^{`3} =5^{`3}], 즉 [eqn: ar^{`4} =5]

조건 (나)에서 [eqn: {ar^{`3} + ar^{`7} } over{ ar^{`5}} = 13 over 6], [eqn: 1over r^{`2} + r^{`2} = 13 over 6]

[eqn: r ^{`2} =X`]로 치환하면 [eqn: X + 1overX = 13 over 6 `]에서

[eqn: 6X^{`2} -13X +6=0], [eqn: LEFT ( 2X-3 RIGHT ) LEFT ( 3X-2 RIGHT ) =0]

[eqn: X= {3} over {2}] 또는 [eqn: X= {2} over {3} `]에서 [eqn: r^{`2}= 3over2] 또는 [eqn: r^{`2} = 2 over 3]

공비가 [eqn: 1`]보다 커야 하므로 [eqn: r ^{`2} = 3 over 2]

따라서 [eqn: a _{`9} =ar ^{`8} =ar ^{`4} TIMES r ^{`4} =5 TIMES LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{`2} = {45} over {4}]

14. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: x<0`]일 때의 교점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표는 방정식
[eqn: log _{`3} ` left(-2x right)=log _{`3} ` left(x+3 right)`]의 근이므로

[eqn: -2x = x+3], [eqn: 3x =it -3], [eqn: x=it-1]

따라서 점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: rm A `LEFT ( - 1,`` log_{`3} `2RIGHT )]

[eqn: x>0`]일 때의 교점 [eqn: rm B`]의 [eqn: x`]좌표는 방정식
[eqn: log _{`3} `2x=log _{`3} ` left(x+3 right) `]의 근이므로

[eqn: 2x = x+3], [eqn: x=3]

따라서 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: rm B ` left( 3,``log_{`3} `6 right)`]이다.

두 점 [eqn: rm A `LEFT ( - 1,`` log_{`3} `2RIGHT )], [eqn: rm B `left( 3,``log_{`3} `6 right)`]에 대하여

직선 [eqn: rm AB`]의 기울기는

[eqn: {log_{`3} `6 - log_{`3} `2}over{3- left(- 1 right)} = {log_{`3}` 6 over2} over4 = 1 over4`]이므로

점 [eqn: rm A`]를 지나고 직선 [eqn: rm AB`]와 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y- log_{`3} `2 = it- 4 left(x+1 right)]

[eqn: y = it -4x -4 +log_{`3} `2] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

직선 ㉠이 [eqn: y`]축과 만나는 점 [eqn: rm C`]의 좌표는

[eqn: rmC` left( it 0,``-4+log_{`3}`2 right)`]이다. 이때

[eqn: bar{rmAB}][eqn: = sqrt {4 ^{`2} + LEFT ( log _{`3} `6-log _{`3} `2 RIGHT ) ^{`2}}][eqn: = sqrt { 17]

[eqn: bar{rmAC}][eqn: = sqrt {(-1) ^{`2} +4 ^{`2}}][eqn: = sqrt { 17]

직각삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S][eqn: = 1over2 times bar{rmAB} times bar{rmAC}][eqn: = 1over2 times sqrt17 times sqrt17][eqn: = 17 over2]

15. [출제의도] 그래프를 이용하여 정적분과 거리의 관계를 추론한다.

[eqn: int _{0} ^{a} { left |v(t) right |} `dt=s_{`1}], [eqn: int _{a} ^{b} {left |v(t) right|} dt=s_{`2}],

[eqn: int _{b} ^{c} {left |v(t)right |} dt=s_{`3} `]이라 하자.

점 [eqn: rmP`]는 출발한 후 시각 [eqn: t=a`]에서 처음으로 운동 방향을 바꾸므로 [eqn: -8= int _{0} ^{a} {v(t)} dt= it -s _{`1}]에서 [eqn: s_{`1}=8]

점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t=c`]에서의 위치가 [eqn: -6`]이므로

[eqn: -6= int _{0} ^{c} {v(t)} dt= it left(-8 right) +s_{`2} -s_{`3}]

에서 [eqn: s_{`2} - s_{`3}= it2] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: int _{0} ^{b} {v(t)} dt = int _{b} ^{c} {v(t)} dt`]이므로

[eqn: -8 + s_{`2} = it - s_{`3}], 즉 [eqn: s _{`2} +s _{`3} =8]　[eqn: CDOTS CDOTS]　㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: s_{`2} =5], [eqn: s_{`3} =3]

따라서 구하는 거리는 [eqn: 5`]이다.

16. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 함수의 미정계수를 구한다.

[eqn: a= int _{0} ^{1} {LEFT | f ( t ) RIGHT | dt}`]라 하면 [eqn: a>0`]이고

[eqn: f(x)=x ^{`3} -4ax]

[eqn: f(1)=1-4a>0`]에서 [eqn: a< {1} over {4}]

따라서 [eqn: 0<a< {1} over {4} `]이다.

[eqn: f ( x ) =x LEFT ( x ^{`2} -4a RIGHT ) =0`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=it +-2 sqrt {a}]

[eqn: 0<x<2 sqrt {a} `]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0`]이고 [eqn: x ge 2 sqrt {a}`]일 때 [eqn: f ( x ) ge0`]이다.

[eqn: 0<a< {1} over {4}`]에서 [eqn: 2 sqrt {a} <1 `]이므로

[eqn: a`][eqn: = int _{0} ^{2 sqrt {a}} {LEFT { -f(t) RIGHT } dt}][eqn: + int _{2 sqrt {a}} ^{1} {`f (t ) dt}]
[eqn: = int _{0} ^{2 sqrt {a}} {LEFT ( -t ^{`3} +4at RIGHT ) dt}][eqn: + int _{2 sqrt {a}} ^{1} {LEFT ( t ^{`3} -4at RIGHT ) dt}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {4} t^{`4} +2at ^{`2} RIGHT ] _{0}^{2 sqrt {a}} + LEFT [ {1} over {4} t ^{`4} -2at ^{`2} RIGHT ] _{2 sqrt {a}}^{1}]
[eqn: =8a ^{`2} -2a+ {1} over {4}]

[eqn: 8a ^{`2} -3a+ {1} over {4} =0]에서

[eqn: 32a ^{`2} -12a+1=0], [eqn: LEFT ( 4a-1 RIGHT ) LEFT ( 8a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: 0<a< {1} over {4}`]이므로 [eqn: a= {1} over {8}`]이고

[eqn: f ( x ) =x ^{`3} - {1} over {2} x]

이때 [eqn: f ( 2 ) =2 ^{`3} - {1} over {2} times2=7]

17. [출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)= x left( x-a right) left( x-6 right)`]이라 하자.

[eqn: f(0)=0`]이므로 원점은 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이고 원점에서 접하는 접선의 기울기는 [eqn: f`prime(0)`]이다.

원점이 아닌 점 [eqn: left(t,``f(t) right)`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-f(t)=f`'(t) left(x-t right)]

이고 이 직선이 원점을 지나므로

[eqn: 0-f(t)=f`'(t) left(0-t right)]

[eqn: tf`'(t)-f(t)=0`]	[eqn: CDOTS CDOTS]　㉠

[eqn: f(x)=x ^{`3} - LEFT ( a+6 RIGHT ) x ^{`2} +6ax`]에서

[eqn: f` prime (x)=3x ^{`2} -2 left(a+6 right)x+6a]

이므로 ㉠에서

[eqn: t LEFT { 3t ^{`2} -2 left(a+6 right) t+6a RIGHT } - left{t^{`3} - left( a+6)t^{`2} +6at right} =0]

[eqn: 2t^{`3} - left( a+6 right)t^{`2} =0], [eqn: t ^{`2} LEFT { 2t- left(a+6 right) RIGHT } =0`]

[eqn: t!=0`]이므로 [eqn: t= {a+6} over {2} `]이다.

[eqn: f ` prime (0)= 6a], [eqn: f` prime left( {a+6} over {2} right)][eqn: = it - {1} over {4} LEFT ( a ^{`2} -12a+36 RIGHT )]

이므로 [eqn: 0<a <6`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 접선의 기울기의 곱을 [eqn: g(a)`]라 하면

[eqn: g(a)][eqn: = it - {3} over {2} LEFT ( a ^{`3} -12a ^{`2} +36a RIGHT )]

[eqn: g`prime(a)][eqn: = it - {3} over {2} LEFT ( 3a ^{`2} -24a+36 RIGHT )][eqn: = it- 9 over 2 left(a-2 right) left(a-6 right)]

[eqn: 0<a <6`]이므로 [eqn: g`prime(a)=0`]에서 [eqn: a=2]

[eqn: 0<a <6`]에서 함수 [eqn: g (a)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: left(0 right)]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( 6 RIGHT )]
[eqn: g`prime(a)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(a)]		↘	[eqn: -48]	↗

함수 [eqn: g(a)`]는 [eqn: a=2`]일 때 극소이면서 최소가 된다.

따라서 [eqn: 0<a<6`]에서 함수 [eqn: g(a)`]의 최솟값은

[eqn: g(2)= it -48`]이다.

18. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하여 증명 과정을 추론한다.

(ⅰ) [eqn: m>0`]인 경우
[eqn: n`]의 값에 관계없이 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것이 존재한다. 그러므로 [eqn: m>0`]인 순서쌍 [eqn: left(m,``n right)`]의 개수는 [eqn: {BOX{~ _{10} rmC _{2} =45 ^{`} ~}} `]이다.

(ⅱ) [eqn: m <0`]인 경우
[eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것이 항상 존재한다. 한편, [eqn: n`]이 짝수이면 실수인 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근은 존재하지 않는다. 그러므로 [eqn: m<0`]인 순서쌍 [eqn: left(m,``n right)`]의 개수는

[eqn: {BOX{~ 2+4+6+8 =20 ^{`} ~}} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것이 존재하도록 하는 순서쌍 [eqn: LEFT( m,``n)`]의 개수는 [eqn: {BOX{~45 ^{`} ~}} `+` {BOX{~20 ^{`} ~}} `]이다.

따라서 (가), (나)에 알맞은 수는 각각 [eqn: 45], [eqn: 20`]이고

[eqn: p+q=65]

19. [출제의도] 코사인법칙을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: bar{rm BC it} =2 sqrt {5}], [eqn: bar{rm OB it} = bar{rm OC it} = sqrt {10} `]이므로 삼각형 [eqn: rmOBC`]는 직각이등변삼각형이고 [eqn: angle rmBOC = pi over2 `]이다.

[eqn: rmangleAOB=alpha], [eqn: rmangleAOC=beta`]라 하면 두 삼각형 [eqn: rmOAB], [eqn: rm OCA`]의 넓이 [eqn: S_{`1}], [eqn: S_{`2}`]는 각각

[eqn: S_{`1} = {1} over {2} times LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{`2} times sin `alpha][eqn: =5` sin `alpha]

[eqn: S_{`2} = {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{`2} times sin`beta`][eqn: =5` sin `beta]

주어진 조건에서 [eqn: 3S_{`1} = 4S_{`2}]이므로

[eqn: sin` alpha][eqn: = {4} over {3} \sin`beta]

[eqn: alpha+beta+ {pi} over {2} =2pi`]이므로 [eqn: beta= {3} over {2} pi-alpha]

[eqn: sin`alpha][eqn: = {4} over {3} \sin` LEFT ( {3} over {2} pi-alpha RIGHT )][eqn: =it- {4} over {3} \cos`alpha] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: sin ^{`2}` alpha+cos ^{`2}` alpha=1`]에서 [eqn: {16} over {9} \cos ^{`2}` alpha+cos ^{`2} `alpha=1]

[eqn: cos ^{`2} `alpha= {9} over {25}]

[eqn: sin`alpha>0`]이므로 ㉠에서 [eqn: cos`alpha<0]

따라서 [eqn: cos` alpha =it- {3} over {5}]

코사인법칙에 의하여 구하는 선분 [eqn: rmAB`]의 길이는

[eqn: bar{rmAB}][eqn: = sqrt {LEFT ( bar{rm OA it} RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( bar{rm OB it} RIGHT ) ^{`2} -2 timesbar{rm OA it} TIMES ` bar{rm OB it} \cos` alpha }]
[eqn: = sqrt {LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{`2} -2` LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{`2} times LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )}]
[eqn: =4 sqrt {2}]

20. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 함수의 극한 문제를 해결한다.

직선 [eqn: l`]이 정사각형 [eqn: rmOABC`]의 넓이를 이등분하므로 점 [eqn: LEFT ( -1,``1 RIGHT )]을 지난다. 직선 [eqn: l`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y=m(x+1)+1], 즉 [eqn: y= mx+m+1]

직선 [eqn: l`]과 [eqn: y`]축이 만나는 점을 [eqn: rmD`]라 하면 점 [eqn: rmD`]의 좌표는 [eqn: rm D `LEFT ( 0,it``m+1 RIGHT )]

직선 [eqn: l`]과 선분 [eqn: rmAP`]가 만나는 점을 [eqn: rmE`]라 하자.

직선 [eqn: rmAP`]의 방정식이 [eqn: y=it- {2} over {t} x+2`]이므로

[eqn: mx+m+1=it- {2} over {t} x+2]에서 [eqn: x= { left(1-m right)t} over {mt+2 }]

그러므로 점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: { left( 1-m right)t} over {mt+2}`]이다.

삼각형 [eqn: rmADE`]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmAOP`]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}`]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES (1-m) times { left( 1-m right)t } over {mt+2 }][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 2 TIMES t RIGHT )]

[eqn: t!=0`]이므로 [eqn: LEFT ( 1-m RIGHT ) ^{`2} =mt+2]

[eqn: m^{`2} - left(2+t right) m -1= 0]

[eqn: m][eqn: = {t+2`± sqrt {LEFT ( t+2 RIGHT ) ^{`2} -4 TIMES LEFT ( -1 RIGHT )}} over {2}]
[eqn: = {t+2`± sqrt {t ^{`2} +4t+8}} over {2}]

직선 [eqn: l`]의 [eqn: y`]절편이 [eqn: m+1`]이고 [eqn: 0<m+1<2]이므로

[eqn: f(t) = m+1][eqn: = {t+4- sqrt {t ^{`2} +4t+8}} over {2}]

따라서 [eqn: lim _{t` -> `0+} {f ( t )}][eqn: = lim _{t `->` 0+} {{t+4- sqrt {t ^{2} +4t+8}} over {2}}]
[eqn: = {4-2 sqrt {2}} over {2}][eqn: =2- sqrt {2}]

21. [출제의도] 도함수를 이용하여 미분가능한 함수의 성질을 추론한다.

그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

ㄱ. [eqn: m=it-1`]일 때, [eqn: f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT )][eqn: =it- {15} over {4}], [eqn: g` LEFT ( {1} over {2} RIGHT )][eqn: =it-5]
[eqn: g` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) LEQ f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `]이므로 [eqn: h` LEFT ( {1} over {2} RIGHT )][eqn: =g` LEFT ( {1} over {2} RIGHT )][eqn: =it-5] (참)

ㄴ. [eqn: m=it-1`]일 때, [eqn: g(x)= {cases{```47x-4&&LEFT ( x<0 RIGHT )#-2x-4&&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

(ⅰ) [eqn: x<0`]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 기울기가 양수이고 [eqn: y`]절편이 음수인 직선의 일부이므로 두 함수 [eqn: y=f ( x )], [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프는 단 하나의 교점을 갖는다. 그 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: x _{`1}`][eqn: LEFT ( x _{`1} <0 RIGHT ) `]이라 하면 [eqn: x<0`]에서 함수 [eqn: h ( x ) `]는 [eqn: x=x _{`1} `]에서만 미분가능하지 않다.

(ⅱ) [eqn: x=0`]일 때, [eqn: g(0)it-4<0=f(0)`]이므로
[eqn: x=0`]에서 함수 [eqn: h ( x ) `]의 미분가능성은 함수 [eqn: g(x)`]의 미분가능성과 같다. 즉, 함수 [eqn: h ( x ) `]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않다.

(ⅲ) [eqn: x>0`]일 때,
[eqn: f(x)-g(x)][eqn: =2x ^{`3} -6x+4]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{`2} LEFT ( x+2 RIGHT ) GEQ 0]
즉, [eqn: f(x) ge g(x)]
[eqn: x>0`]에서 [eqn: h ( x ) =g(x)`]이므로 함수 [eqn: h ( x ) `]의 미분가능성은 함수 [eqn: g ( x ) `]의 미분가능성과 같다.
따라서 [eqn: x>0`]에서 함수 [eqn: h ( x ) `]는 미분가능하다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 함수 [eqn: h ( x ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 2`]이다. (참)

ㄷ. 양수 [eqn: m`]에 대하여

[eqn: x=0`]일 때, [eqn: g(0)= {4} over {m ^{3}} >0=f(0)`]이므로
[eqn: x=0`]에서 함수 [eqn: h ( x)`]의 미분가능성은 함수 [eqn: f ( x ) `]의 미분가능성과 같다. 즉, 함수 [eqn: h ( x ) `]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하다.

[eqn: x>0`]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 기울기가 양수이고 [eqn: y`]절편도 양수인 직선의 일부이므로 두 함수 [eqn: y=f ( x )], [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프는 단 하나의 교점을 갖는다. 그 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: x _{`2} `][eqn: LEFT ( x _{`2} >0 RIGHT ) `]이라 하면 [eqn: x>0`]에서 함수 [eqn: h ( x ) `]는 [eqn: x=x _{`2} `]에서만 미분가능하지 않다.

그러므로 함수 [eqn: h ( x ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 1`]이려면 [eqn: x<0`]에서 함수 [eqn: h ( x ) `]는 미분가능해야 한다.

[eqn: x<0`]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프가 접한다고 할 때, 접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하자.
[eqn: f ( t ) =g ( t )], [eqn: f`prime ( t ) =g`prime ( t ) `]에서
[eqn: 2t ^{`3} -8t= it - {47} over {m} t+ {4} over {m ^{`3}}] [eqn: cdotscdots] ㉠
[eqn: 6t ^{`2} -8= it - {47} over {m}] [eqn: cdotscdots] ㉡
[eqn: t TIMES ㉡-㉠`]에서
[eqn: 4t ^{`3} = it - {4} over {m ^{`3}}]
[eqn: t= it - {1} over {m}] [eqn: cdotscdots] ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
[eqn: {6} over {m ^{`2}} -8= it - {47} over {m}], [eqn: 8m ^{`2} -47m-6=0]
[eqn: LEFT ( 8m+1 RIGHT ) LEFT ( m-6 RIGHT ) =0`]
[eqn: m`]은 양수이므로 [eqn: m=6]
[eqn: m=6`]일 때 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프는 [eqn: x=it- {1} over {6} `]인 점에서 접한다.

(ⅰ) [eqn: m=6`]일 때, 함수 [eqn: x<0`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g ( x ) GEQ f ( x ) `]이므로 [eqn: h ( x ) =f(x)`]이다.
그러므로 [eqn: x<0`]에서 함수 [eqn: h ( x ) `]는 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: 0<m<6`]일 때, [eqn: x<0`]에서 [eqn: m`]의 값이 작아질수록 함수 [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프는 [eqn: m=6`]일 때보다 기울기의 절댓값이 커지고 [eqn: y`]절편도 커지므로 [eqn: x<0`]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프는 만나지 않는다.
그러므로 [eqn: x<0`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g ( x ) GEQ f ( x ) `]이므로 [eqn: h ( x ) =f(x)`]이다.
따라서 [eqn: x<0`]에서 함수 [eqn: h ( x ) `]는 미분가능하다.

(ⅲ) [eqn: m>6`]일 때, [eqn: x<0`]에서 [eqn: m`]의 값이 커질수록 함수 [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프는 [eqn: m=6`]일 때보다 기울기의 절댓값이 작아지고 [eqn: y`]절편도 작아지므로 [eqn: x<0`]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g ( x ) `]의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다. 이때 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x _{`3}], [eqn: x _{`4} `]라고 하면 함수 [eqn: h ( x ) `]는 [eqn: x=x _{`3}], [eqn: x=x _{`4} `]에서 미분가능하지 않다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 함수 [eqn: h ( x ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 1`]인 양수 [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: 6`]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

22. [출제의도] 곱의 미분법을 이용하여 미분계수를 계산한다.

[eqn: f` prime ( x )][eqn: = LEFT ( 2x+3 RIGHT ) prime TIMES LEFT ( x ^{`2} +5 RIGHT ) + LEFT ( 2x+3 RIGHT ) TIMES LEFT ( x ^{`2} +5 RIGHT ) prime]
[eqn: =2 LEFT ( x ^{`2} +5 RIGHT ) + LEFT ( 2x+3 RIGHT ) times2x]
[eqn: =6x ^{`2} +6x+10]

[eqn: f`prime ( 1 ) =6+6+10=22]

23. [출제의도] 호도법을 이용하여 부채꼴의 넓이를 계산한다.

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 호의 길이를 [eqn: l`]이라 할 때, 중심각의 크기가 [eqn: 1`]라디안이므로 [eqn: l over r =1] 즉, [eqn: l=r]

부채꼴의 둘레의 길이는 [eqn: 2r+l =24`]이므로

[eqn: l=r`]를 대입하면 [eqn: 3r=24]

[eqn: r=8`], [eqn: l=8]

따라서 부채꼴의 넓이는 [eqn: {1} over {2} rl= {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8= 32]

24. [출제의도] 정적분의 성질을 이해한다.

[eqn: int _{1} ^{3} {LEFT ( 4x ^{`3} -6x +4 RIGHT ) dx + int_{1} ^3 {left( 6x -1right) dx`]

[eqn: = int_1 ^3 left( 4 x^{`3}＋3 right) dx][eqn: = left[ x^{`4} + 3x pile{`#`} right] _1 ^3 = 86]

25. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: lim_{n`->`infty}{`na_{`n} left(b_{`n}+2n right)}]

[eqn: =lim_{n`->`infty}{ left(na_{`n}b_{`n}+2n^{`2}a_{`n} right)}]

[eqn: =lim_{n`->`infty}{left{left(n^{`2}a_{`n}right) times left({b_{`n}} over {n} right)+2n^{2`}a_{`n}right}}]

[eqn: =left(lim_{n`->`infty}{n^{`2}a_{`n}}right) times left(lim_{n`->`infty}{{b_{`n}} over {n}}right)+ 2`lim_{n`->`infty}{` n^{`2}a_{`n}}]

[eqn: =3 times5 +2 times3][eqn: =21]

26. [출제의도] 삼각함수의 정의를 이해한다.

원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 원이 세 동경 [eqn: rmOP], [eqn: rm OQ], [eqn: rmOR`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC`]라 하자.

점 [eqn: rmP`]가 제[eqn: `1`]사분면 위에 있고, [eqn: sin` alpha = {1} over {3} `]이므로

점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: rmA`LEFT ( 2 sqrt {2} ,``1 RIGHT )]

점 [eqn: rmQ`]가 점 [eqn: rmP`]와 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이므로

동경 [eqn: rmOQ`]도 동경 [eqn: rmOP`]와 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다. 그러므로 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: rmB`LEFT ( 1,``2 sqrt {2} RIGHT )]

점 [eqn: rmR`]가 점 [eqn: rmQ`]와 원점에 대하여 대칭이므로

동경 [eqn: rmOR`]도 동경 [eqn: rmOQ`]와 원점에 대하여 대칭이다.

그러므로 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: rmC`LEFT ( -1,``-2 sqrt {2} RIGHT )]

삼각함수의 정의에 의해

[eqn: sin` beta][eqn: = {2 sqrt {2}} over {3}], [eqn: tan`gamma= {LEFT ( -2 sqrt {2} RIGHT )} over {LEFT ( -1 RIGHT )}][eqn: =2 sqrt {2}]

따라서 [eqn: 9` LEFT ( sin ^{`2} ` beta +tan ^{`2} ` gamma RIGHT )][eqn: =9 TIMES LEFT ( {8} over {9} +8 RIGHT )][eqn: =80]

27. [출제의도] 원순열을 이용하여 문제를 해결한다.

회전하여 일치하는 것을 같은 것으로 보므로 빨간색을 칠할 정사각형은 그림과 같이 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중에서 택할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: rmA`]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 [eqn: 5`]이다.
나머지 [eqn: 7`]개의 정사각형에 남은 [eqn: 7`]개의 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7!`]이다.

(ⅱ) [eqn: rmB`]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3`]이다.
나머지 [eqn: 7`]개의 정사각형에 남은 [eqn: 7`]개의 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7!`]이다.

(ⅲ) [eqn: rmC`]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 어떤 정사각형에 칠해도 빨간색이 칠해진 정사각형과 꼭짓점을 공유하므로 조건을 만족시킬 수 없다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: LEFT ( 3+5 RIGHT ) TIMES 7! =8 TIMES 7!]

따라서 [eqn: k=8]

28. [출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

닫힌구간 [eqn: LEFT [ - pi over a,`` 2pi over a RIGHT ]`]에서 [eqn: 0 <a< 4 over7`]이므로

[eqn: - {pi } over {a} < it - {7} over {4} pi], [eqn: {7 pi } over {2} < {2 pi } over {a} `]이다.

함수 [eqn: f(x)= 2`sin left( ax right) +b`]의 그래프가 두 점

[eqn: rm A` LEFT ( - pi over2 ,``0 RIGHT )], [eqn: rm B` LEFT ( 7 over2 pi,``0 RIGHT )`]을 지나므로

[eqn: f` LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT ) =2`sin` LEFT ( - {a} over {2} pi RIGHT )+b][eqn: = it -2` sin ` left( a over 2 pi right)+b][eqn: =0]

[eqn: f ` left( 7 over 2 pi right ) = 2` sin` left( 7a over2 pi right) +b=0]

따라서 [eqn: sin ` left( 7a over 2 pi right) = it - sin ` left( a over2 pi right)]

[eqn: 0 <a< 4 over7`]에서 [eqn: 0< a over 2 pi < 2 over 7 pi], [eqn: 0 < 7a over 2 pi < 2pi`]

이므로

[eqn: 7a over 2 pi = 2pi - a over 2 pi] 또는 [eqn: 7a over 2 pi = pi + a over 2 pi]

따라서 [eqn: a = 1over2] 또는 [eqn: a = 1over3]

(ⅰ) [eqn: a= 1over2 `]일 때
[eqn: f(x)= 2` sin ` left( 1 over2 x right)+b`]에서
[eqn: f ` left( - piover 2 right)][eqn: =2 `sin` left( - pi over 4 right)+b]
[eqn: = 2 times left( - sqrt2 over 2 right) +b]

[eqn: = it - sqrt2 +b=0]
이므로 [eqn: b= sqrt2]
이는 [eqn: b`]는 유리수라는 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a = 1 over 3 `]일 때
[eqn: f(x)= 2` sin ` left( 1 over3 x right)+b`]에서
[eqn: f ` left( - piover 2 right)][eqn: =2 `sin` left( - pi over 6 right)+b]
[eqn: = 2 times left( - 1 over 2 right) +b]

[eqn: = it - 1 +b=0]
이므로 [eqn: b= 1]
이때 [eqn: f` left( 7 over2 pi right)][eqn: =0`]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a= 1over3], [eqn: b=1`]이고

[eqn: 30 left (a +b right) = 30 times left( 1 over 3 +1 right) =40]

29. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 문제를 해결한다.

직선 [eqn: rmAB`]의 방정식은

[eqn: y= it - {n+5} over {n+4} x +n+5]

자연수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: x=a`]일 때

[eqn: y][eqn: = it - {n+5} over{n+4} a+n+5]
[eqn: =n+5 - left( 1 + 1 over n+4 right)a]
[eqn: =n+5 -a - a over n+4]

[eqn: 0<a<n+4`]일 때, [eqn: 0 < a over {n+4} <1`]이므로

[eqn: x=a`]일 때, [eqn: y`]좌표가 자연수인 점의 개수는

[eqn: n+4-a`]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAOB`]의 내부에 포함되는 한 변의 길이가 [eqn: 1]이고 각 꼭짓점의 좌표가 자연수인 정사각형의 네 꼭짓점의 좌표를 각각

[eqn: left(a,``b RIGHT)], [eqn: left(a+1,``b right)], [eqn: left(a+1,``b+1 right)], [eqn: left(a,``b+1 right)`]

이라 하면

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: 1 le b le n+1`]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: left( n+1 right)`]이다.

[eqn: a=2`]일 때, [eqn: 1 le b le n`]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: n`]이다.

[eqn: a=3`]일 때, [eqn: 1 le b le n-1`]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: left( n-1 right)`]이다.

[eqn: VDOTS]

[eqn: a= n+1`]일 때, [eqn: b=1`]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: 1`]이다.

따라서

[eqn: a_{`n}][eqn: = left(n+1 right) + n + left(n-1) + `cdots` + 1]
[eqn: = 1over2left (n+1 right) left(n+2 right)]
[eqn: = 1over2 left( n^{`2} +3n+2 right)]

[eqn: sum_n=1 ^8 {a_{`n}}][eqn: = 1over2 sum_n=1 ^8 (n^{`2} +3n +2)]
[eqn: = 1over 2 left({ 8 times 9 times 17 }over 6 + 3 times {8 times 9} over 2 + 2 times 8 right)]
[eqn: =164]

30. [출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)`]가 최고차항의 계수가 [eqn: 4`]인 삼차함수이므로

[eqn: g(x) = int_t ^x f(s) ds`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수이고 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g(x)-g(a)`]는 미분가능하다.

[eqn: g(x) ge g(a)`]일 때, [eqn: LEFT | g(x)-g(a) RIGHT | =g(x)-g(a)]

[eqn: g(x)<g(a)`]일 때, [eqn: LEFT | g(x)-g(a) RIGHT | = it - LEFT { g(x)-g(a) RIGHT }]

이므로 함수 [eqn: LEFT | g(x)-g(a) RIGHT | `]은 [eqn: g(x)-g(a) != 0]인 모든 [eqn: x`]에서 미분가능하다.

[eqn: g(x)-g(a)=0`]를 만족시키는 [eqn: x`]의 값을 [eqn: k`]라 하면,

[eqn: g(k)=g(a)`]이므로

[eqn: { left|g(x) - g(a) right| - left| g(k) - g(a) right|} over {x-k} = {left| g(x)-g(k) right|} over{x-k}]

(ⅰ) [eqn: x=k`]의 좌우에서 [eqn: g(x) -g(a)`]의 부호가 같을 때
[eqn: lim_{x`-> `k- } { left| g(x) - g(k) right| } over { x-k}=lim_{x`-> `k+ } { left| g(x) - g(k) right| } over { x-k}]
이므로 함수 [eqn: LEFT | g(x)-g(a) RIGHT | `]는 [eqn: x=k`]에서 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: x=k`]의 좌우에서 [eqn: g(x) -g(a)`]의 부호가 다르고 [eqn: f(k)=0`]일 때
[eqn: lim_{x`-> `k- } { left| g(x) - g(k) right| } over { x-k}=lim_{x`-> `k+ } { left| g(x) - g(k) right| } over { x-k}]
이므로 함수 [eqn: LEFT | g(x)-g(a) RIGHT | `]는 [eqn: x=k`]에서 미분가능하다.

(ⅲ) [eqn: x=k`]의 좌우에서 [eqn: g(x) -g(a)`]의 부호가 다르고 [eqn: f(k)!=0`]일 때,
[eqn: lim_{x`-> `k- } { left| g(x) - g(a) right| } over { x-k} !=lim_{x`-> `k+ } { left| g(x) - g(a) right| } over { x-k}]
이므로 함수 [eqn: LEFT | g(x)-g(a) RIGHT | `]는 [eqn: x=k`]에서 미분가능하지 않다.

(나)에서 함수 [eqn: LEFT | g(x)-g(a) RIGHT | `]가 미분가능하지 않은
[eqn: x`]의 개수가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: g(x)-g(a)=0`], [eqn: g`'(x) = f(x) !=0`]

인 [eqn: x`]가 단 하나 존재한다는 것을 알 수 있다.

그러므로 사차함수 [eqn: y=g(x)`]는 단 하나의
극솟값을 갖고 함수 [eqn: g(x)`]의 그래프와 직선
[eqn: y=g(a)`]는 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: g`prime(x)=0`]인 방정식 [eqn: g(x)-g(a)=0`]의 근을 [eqn: alpha],

함수 [eqn: g(x)`]가 극솟값을 가질 때의 [eqn: x`]의 값을 [eqn: beta`]라
하면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]의 대소관계에 따라 다음과 같이 두 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: alpha < beta `]인 경우 (단, [eqn: g( gamma)=g(alpha)], [eqn: beta< gamma])

함수 [eqn: y=g(x)`]의 도함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면

[eqn: g(alpha)=g(gamma)=g(a)`]이므로 [eqn: alpha=a`] 또는 [eqn: gamma=a`]
(가)에서 [eqn: f` prime (a)=0`]이므로 [eqn: alpha =a`]이다.
따라서 [eqn: f(x)=4 LEFT ( x-a RIGHT ) ^{`2} LEFT ( x- beta RIGHT ) `]이다.
[eqn: h(t)=g(a)= int _{t} ^{a} {f(s)} ds][eqn: = it- int_ a ^t f(s)ds`]에서
[eqn: h`prime(t) = it - f(t)]
함수 [eqn: h(t)`]가 [eqn: t=2`]에서 최댓값, 즉 극댓값을 가지므로 [eqn: h`'(2)= it -f(2)=0`]
따라서 [eqn: a=2] 또는 [eqn: beta=2`]이다.
[eqn: a=2`]이면 [eqn: h(2)=int_2 ^ 2 {f(t) } d t = 0 != 27]
이므로 [eqn: a !=2]
[eqn: beta=2`]이면
[eqn: h(3)= int _{3} ^{a} {f(s)} ds=0`]이고,
[eqn: h(2)= int _{2} ^{a} {f(s)} ds=27`]이므로
[eqn: h(2)-h(3)= int _{2} ^{3} {f(s)} ds=27`]이다.
[eqn: int _{2} ^{3} {f(s)} ds`]
[eqn: = int _{2} ^{3} {4 left(s-a right) ^{`2} left(s-2 right)} ds`]
[eqn: = int _{2} ^{3} {4 left{s ^{`3} -2 left(a+1 right)s ^{`2} + left(a ^{`2} +4a right)s-2a ^{`2} right}} ds`]
[eqn: = LEFT [ s ^{`4} - {8} over {3} left(a+1 right)s ^{`3} + 2 left(a ^{`2} +4a right)s ^{`2} -8a ^{`2} s RIGHT ] _{2}^{3} `]
[eqn: =65- {152} over {3} left(a+1 right)+10 left(a ^{`2} +4a right)-8a ^{`2}]
[eqn: = 2a^{`2} - 32 over3 a + 43 over3][eqn: =27`]
이므로
[eqn: 3a ^{`2} -16a-19=0]
[eqn: left(a+1 right) left(3a-19 right)=0]
[eqn: a= it -1] 또는 [eqn: a= {19} over {3} `]
[eqn: a<2`]이므로 [eqn: a= it -1`]이다.
[eqn: f(x)=4 left(x+1 right) ^{`2} left(x-2 right)`]라 하면 함수 [eqn: f(x)`]는 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅱ) [eqn: alpha > beta `]인 경우 (단, [eqn: g( gamma)=g(alpha)], [eqn: gamma < beta])

함수 [eqn: y=g(x)`]의 도함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면

(가)에서 [eqn: f` prime (a)=0`]이므로 [eqn: alpha=a`]이다.
따라서 [eqn: f(x)=4 LEFT ( x-a RIGHT ) ^{`2} LEFT ( x- beta RIGHT ) `]이다.
[eqn: alpha < beta `]인 경우와 마찬가지로 [eqn: beta=2`]이다.
[eqn: f(x)=4 left( x-a right)^{`2} left(x-2 right)]
[eqn: a!=3`]이면 [eqn: h(3)= int_3 ^a f(s) ds!=0`]이므로 [eqn: a=3]
따라서 [eqn: f(x)=4 left(x-3 right)^2 left(x-2 right)]이고
[eqn: h(2)][eqn: = int _2 ^a f(s)ds][eqn: = int_2 ^3 4 left(s-3 right)^{`2} left(s-2 right) ds][eqn: = 1 over 3]
[eqn: h (2) !=27`]이므로 주어진 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)`]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x)=4 left(x+1 right) ^{`2} left(x-2 right)`]이다.

[eqn: f(5) = 4 times 36 times 3= 432`]

수학 ‘나’형 정답

1	③	2	④	3	④	4	④	5	⑤
6	②	7	④	8	⑤	9	③	10	②
11	①	12	⑤	13	③	14	①	15	④
16	⑤	17	③	18	①	19	②	20	②
21	①	22	[eqn: 55]	23	[eqn: 19]	24	[eqn: 840]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 6]	27	[eqn: 8]	28	[eqn: 34]	29	[eqn: 63]	30	[eqn: 41]

해 설

1. [출제의도] 함수의 극한을 계산하여 값을 구한다.

[eqn: lim _{x `rarrow `2} left( x ^{2} +5right)}][eqn: =lim _{x `rarrow `2}` x ^{`2}}+lim _{x `rarrow `2}` 5}][eqn: =4 +5][eqn: =9]

2. [출제의도] 지수를 계산하여 주어진 방정식의 해를 구한다.

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{`-x} =64], [eqn: LEFT ( 4 ^{-1} RIGHT ) ^{`-x} =4 ^{3}], [eqn: 4 ^{`x} =4 ^{`3} `]이므로 [eqn: x=3]

3. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하여 값을 구한다.

[eqn: theta`]가 제[eqn: `3`]사분면의 각이므로 [eqn: sin`theta <0]

[eqn: sin ^{`2} ` theta +cos ^{`2} ` theta =1`]에서

[eqn: sin` theta][eqn: = it - sqrt {1-cos ^{2} ` theta }][eqn: = it-root{1- left( - 4 over 5 right)^{`2}}][eqn: =it- 3 over 5]

따라서 [eqn: tan `theta][eqn: = {sin`theta } over {cos`theta}][eqn: = {- 3 over 5} over {- 4 over 5}][eqn: = 3 over 4]

4. [출제의도] 세 항 사이의 관계를 이해하여 등차수열의 공차를 구한다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{2} =a +d`], [eqn: a _{3} =a +2d`]

이를 주어진 등식에 대입하면

[eqn: (a +d)+(a +2d)][eqn: =2left(a +12 right)], [eqn: 3d= 24]

따라서 [eqn: d=8]

5. [출제의도] 정적분을 계산하여 값을 구한다.

[eqn: int _{5} ^{2} {2t`dt}` - int _{5} ^{0} {2t`dt}][eqn: = int _{5} ^{2} {2t`dt} `+ int _{0} ^{5} {2t`dt}]
[eqn: = int _{0} ^{5} {2t`dt} `+ int _{5} ^{2} {2t`dt}][eqn: = int _{0} ^{2} {2t`dt}][eqn: = LEFT [ pile{`#`} t ^{2} RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: =4]

6. [출제의도] 연속함수의 정의를 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: x!=1]일 때 [eqn: f ( x )][eqn: = {x ^{2} -3x+2} over {x-1}][eqn: = {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )} over {x-1}][eqn: =x-2]

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: f(1)][eqn: =lim _{x `-> `1} {f ( x )}][eqn: = lim _{x `-> `1} {left ( x-2 right )}][eqn: =it-1]

7. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하여 교점의 개수를 구한다.

함수 [eqn: y=cos` LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=sin`x`]의

그래프와 일치하고 함수 [eqn: y=sin`4x`]의 최댓값은 [eqn: 1],

최솟값은 [eqn: -1], 주기는 [eqn: {pi } over {2}`]이므로 [eqn: 0 le x < 2pi`]에서 두 함수 [eqn: y= sin`x `]와 [eqn: y= sin`4x`]의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 두 곡선이 만나는 점의 개수는 [eqn: 8]

8. [출제의도] 로그의 정의를 이해하여 주어진 식의 값을 구한다.

[eqn: a ^{`p} =it- p], [eqn: a ^{`2q} =it-q`]이므로

[eqn: a^p times a^ 2q][eqn: = (-p ) times (-q)], [eqn: a ^{`p+2q}][eqn: = p`q]

따라서 로그의 정의에 의해 [eqn: p+2q][eqn: =log _{a} `p`q][eqn: =it-8]

9. [출제의도] 미분계수의 정의를 이해하여 미지수의 값을 구한다.

[eqn: f(x)`]가 다항함수이므로 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 미분가능하다.

한편, [eqn: lim _{h` -> `0} {{f ( 2+ h ) -f ( 2)} over {h}}][eqn: =f`'(2)`]에서 [eqn: f`'(2)][eqn: =9]

[eqn: f ( x )][eqn: =x ^{`3} -2x ^{`2} +ax+1`]에서 [eqn: f`'(x)][eqn: = 3x^{`2} -4x + a]

그러므로 [eqn: f`'(2)][eqn: =3 TIMES 2 ^{`2} -4 TIMES 2+a][eqn: =a +4]

따라서 [eqn: a+4 =9`]에서 [eqn: a=5]

10. [출제의도] 주어진 규칙을 추론하여 등비수열의 합을 구한다.

문제에서 제시된 세 번째 줄의 [eqn: 4`]와 인접한 아래쪽 칸의 수는 주어진 규칙에 의해 [eqn: 4`]의 [eqn: 2`]배인 [eqn: 8`]이다.

규칙으로부터 네 번째 줄의 [eqn: 8`]과 인접한 왼쪽 칸의 수는 그 수를 [eqn: 2`]배하여 [eqn: 8`]이 되어야 하므로 [eqn: 4`]이다.

이와 같은 방식으로 네 번째 줄에 있는 수를 모두

구하여 왼쪽부터 차례대로 나열하면 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 16], [eqn: 32], [eqn: 64`]이다.

그러므로 네 번째 줄에 있는 모든 수의 합은 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: `7`]항까지의 합이다.

따라서 구하는 값은 [eqn: {1 times left(2^{`7} -1 right)} over 2-1][eqn: =127`]

11. [출제의도] 주어진 두 수열의 관계를 이해하여 등차수열의 제[eqn: `bold3`]항을 구한다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`], 등비수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{n} =3+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d], [eqn: b _{n} =3r ^{`n-1}]

[eqn: b _{3} = it -a _{2} `]를 [eqn: a_2 +b_2][eqn: = a_3 + b_3]에 대입하면

[eqn: a_2 +b_2][eqn: =a _{3} -a _{2}][eqn: =d]

그러므로 [eqn: 3+d+ 3r][eqn: =d], [eqn: 3r= it -3`]에서 [eqn: r= it -1] …… ㉠

[eqn: b _{3} = it -a _{2} `]에서 [eqn: 3r ^{`2}=it-(3+d)] …… ㉡

㉡에 ㉠을 대입하면 [eqn: 3 times (-1)^2][eqn: = it-3 -d`]에서 [eqn: d= it -6]

따라서 [eqn: a _{3}][eqn: =3+2 TIMES LEFT ( -6 RIGHT )][eqn: =it-9]

12. [출제의도] 함수의 연속성을 이해하여 함수의 연속성을 판단한다.

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `1-} {} f(x)][eqn: =0], [eqn: lim _{x` -> `1- }{} g(x)][eqn: =it-1 `]이므로
[eqn: lim _{x` -> `1-} {} f(x)g(x)][eqn: =lim _{x` -> `1-} {} f(x) TIMES lim _{x` -> `1-} {} g(x)][eqn: =0 times left(-1right)][eqn: =0]

(거짓)

ㄴ. [eqn: f(1)=0], [eqn: g(1)=it-1 `]이므로 [eqn: f(1)g(1)][eqn: = 0 times left(-1right)][eqn: =0]

(참)

ㄷ. [eqn: lim _{x` -> `1+} {} f(x)=1`], [eqn: lim _{x` -> `1+} {} g(x)=1]이므로
[eqn: lim _{x` -> `1+} {} f(x)g(x)][eqn: =lim _{x` -> `1+} f(x) TIMES lim _{x` -> `1+} {} g(x)][eqn: = 1 times 1][eqn: =1]
[eqn: lim _{x` -> `1-} {} f(x)g(x)][eqn: = 0 `]에서
[eqn: lim _{x` -> `1+} {} f(x) g(x)][eqn: !=lim _{x` -> `1-} {} f(x)g(x)]이므로
극한값 [eqn: lim _{ x->1 } {} `f(x) g(x)`]는 존재하지 않는다.
그러므로 함수 [eqn: f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이다.

(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

13. [출제의도] 이차함수의 성질과 도함수의 정의를 이해하여 함숫값을 구한다.

이차함수 [eqn: f ( x) `]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고

함수 [eqn: y= f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축에 접하므로

[eqn: f(x)= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{`2}] (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[eqn: f(x)= LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]이므로

[eqn: f`'(x)][eqn: = 2 left(x-a right)]

[eqn: g(x)][eqn: = LEFT (x-3 RIGHT ) f` prime (x)][eqn: = it `2 LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]
[eqn: = 2x^2 - 2(a+3) x + 6a]

함수 [eqn: y=itg ( x ) `]의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: x`]의 계수가 [eqn: 0`]이다. 즉, [eqn: a=it-3]

따라서 [eqn: f( x )][eqn: = left (x+3 right) ^{`2} `]에서 [eqn: f (0)][eqn: = 3 ^{`2}][eqn: = 9]

14. [출제의도] 여러 가지 순열의 수를 구하는 과정을 추론한다.

일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는

세 군데이므로 숫자 [eqn: 2`]는 많아야 세 번 사용할 수 있다.

(ⅰ) 숫자 [eqn: 2`]를 한 번 사용한 경우
[eqn: 2`]를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 1], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1,] [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3,] [eqn: 3 `] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3,] [eqn: 3 `]을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 [eqn: {6!} over {5!`1!} + {6!} over {4!`2!} + {6!} over {3!`3!} + {6!} over {2!`4!} + {6!} over {1!`5!}][eqn: = {BOX{~62~}} `]이다.
[eqn: 2`]를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {}_{3} ` rm C _{`1}][eqn: =3`]이다.
그러므로 숫자 [eqn: 2`]를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 62`][eqn: = {BOX{~186~}} `]이다.

(ⅲ) 숫자 [eqn: 2`]를 세 번 사용한 경우
[eqn: 2`]를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 [eqn: 1], [eqn: 3`]을 모두 한 번 이상씩 사용하여 만든 것이므로 나머지 자리에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3`] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3`]을 나열하여 만든 것이다.
그러므로 그 경우의 수는 [eqn: {4!} over {3!`1!} + {4!} over {2!`2!} + {4!} over {1!`3!}][eqn: = {BOX{~14~}} `]이다.

그러므로 [eqn: p=62], [eqn: q= 186], [eqn: r=14`]

따라서 [eqn: p+q+r][eqn: =262`]

[다른 풀이]

(ⅲ) 숫자 [eqn: 2`]를 세 번 사용한 경우
[eqn: 2`]를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 [eqn: 1], [eqn: 3`]을 모두 한 번 이상씩 사용하여 만든 것이다.
즉, 구하려는 값은 [eqn: 1], [eqn: 3`]을 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열하는 경우의 수에서 [eqn: 1]을 네 개, [eqn: 3`]을 네 개 선택한 경우의 수 [eqn: 2`]를 뺀 값이므로 [eqn: {}_2 smallprod_{4} -2][eqn: =2^{`4} -2][eqn: = {BOX{~14~}} `]이다.

[보충 설명]

(ⅱ) 숫자 [eqn: 2`]를 두 번 사용한 경우
[eqn: 2`], [eqn: 2`]를 십의 자리와 천의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 1], [eqn: 1,] [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3`] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3`]을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 [eqn: {5!} over {4!`1!} + {5!} over {3!`2!} + {5!} over {2!`3!} + {5!} over {1!`4!}][eqn: =30`]이다.
[eqn: 2`]를 짝수 번째 자리에 두 번 오도록 놓는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} ` rm C _{`2}][eqn: =3`]이다.
그러므로 숫자 [eqn: 2`]를 두 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 30][eqn: =90`]이다.

15. [출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: a _{n+1} = sum _{k=1} ^{n} k`a _{k} `]에서 [eqn: n=1`]을 대입하면

[eqn: a_2][eqn: = sum_{k=1} ^1 k`a_k][eqn: = a_1 `]이므로 [eqn: a_2 =2]

[eqn: n ge 2 `]일 때 [eqn: a_n = sum_k=1 ^n-1 k`a_k `]이므로

[eqn: a_n+1 - a_n][eqn: = sum_{k=1} ^n k`a_k - sum_{k=1} ^n-1 k`a_k]
[eqn: = na_n]

그러므로 [eqn: a _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n}] (단, [eqn: n ge 2])

위 식에 [eqn: n=50`]을 대입하면

[eqn: a_51][eqn: = 51 a_50]이고 [eqn: a_50 >0`]이므로 [eqn: a_51 over a_50][eqn: = 51]

따라서 [eqn: a _{2} + {a _{51}} over {a _{50}} `][eqn: = 2 + 51][eqn: = 53]

[보충 설명]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n >0`] [eqn: cdots][eqn: cdots] (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 보일 수 있다.

[eqn: a_2 =2`]이고 [eqn: n ge 2`]일 때 [eqn: a _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n} `]이므로

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때
[eqn: a_2][eqn: =2][eqn: >0`]이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: n=k`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 [eqn: a_k >0]
[eqn: n= k+1`]일 때 [eqn: a _{k+1} = LEFT ( k+1 RIGHT ) a _{k}][eqn: >0]이므로 [eqn: n= k+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n >0 `]이다.

16. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 선분의 길이 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: m= 3^{`x}`]에서 [eqn: x= log_3 m]이므로 [eqn: {\A} _{m} LEFT ( log _{3} m,``m RIGHT )]

[eqn: m= log_2 x`]에서 [eqn: x= 2^m]이므로 [eqn: {\B} _{m} LEFT ( 2 ^{m} ,`m RIGHT )]

그러므로 [eqn: bar{{\A}_m {\B}_m}][eqn: = 2^m - log_3 m]

[eqn: bar{{\A}_m {\B}_m}]이 자연수이기 위해서는 [eqn: m`]과 [eqn: 2^{`m}`]이 자연수이므로 [eqn: log_3 `m`]이 음이 아닌 정수이다.

그러므로 [eqn: m][eqn: =3^{`k}`](단, [eqn: k`]는 음이 아닌 정수이다.)

[eqn: m=3 ^{`0} `]일 때, [eqn: a_1][eqn: =2 ^{`1} -log _{3} `1][eqn: =2]

[eqn: m=3 ^{`1} `]일 때, [eqn: a_2][eqn: =2 ^{`3} -log _{3} `3][eqn: = 7]

[eqn: m=3 ^{`2}`]일 때, [eqn: a_3][eqn: =2 ^{`9} -log _{3}` 9][eqn: = 510]

따라서 [eqn: a _{3}][eqn: = 510]

[보충 설명]

위의 풀이에서 [eqn: bar{{\A}_m {\B}_m}]이 자연수이기 위해서는 [eqn: m][eqn: =3^{`k}`]꼴임을 알 수 있다. 이제 [eqn: m]의 값이 [eqn: 3 ^{`n-1}]에서 [eqn: 3 ^{`n}]으로 증가하면 [eqn: 2^{`m} - log_3 `m`]의 값도 증가함을 보이자.

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: LEFT ( 2 ^{`3 ^{n}} -n RIGHT ) - LEFT { 2 ^{`3 ^{n-1}} -(n-1) RIGHT }][eqn: =2 ^{`3 ^{n}} -2 ^{`3 ^{n-1}} -1]

[eqn: =2 ^{`3 ^{n-1}} (2 ^{`3} -1)-1]

[eqn: =7 TIMES 2 ^{`3 ^{n-1}} -1]

[eqn: 3 ^{`n-1} GEQ 1`]이므로 [eqn: 2 ^{`3 ^{n-1}}][eqn: ge 2`]이다.

그러므로 [eqn: 7 TIMES 2 ^{`3 ^{n-1}} -1][eqn: >0]

따라서 [eqn: 2 ^{`3 ^{n-1}} -(n-1)<2 ^{`3 ^{n}} -n]이 성립한다.

17. [출제의도] 등차중항을 이용하여 등차수열의 합과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: a _{k-3}], [eqn: a _{k-2}], [eqn: a _{k-1} `]은 이 순서대로 등차수열을

이루므로 [eqn: a_{k-2}`]는 [eqn: a_{k-3} `]과 [eqn: a_{k-1} `]의 등차중항이다. 즉,

[eqn: a _{k-2}][eqn: = {a _{k-3} +a _{k-1}} over {2}][eqn: = -24 over 2][eqn: =it-12]

[eqn: S _{k}][eqn: = {k left( a _{1} +a _{k} right)} over {2}][eqn: = {k left( a _{3} +a _{k-2} right)} over {2}]
[eqn: = {k left{ 42+ left( -12 right) right}} over {2}][eqn: =15k]

따라서 [eqn: k ^{2} =15k`]이고 [eqn: k!=0`]이므로 [eqn: k=15]

[다른 풀이 1]

수열 [eqn: "{"a _{n}"}"]의 첫째항을 [eqn: a,] 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=42] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: a _{k-2}][eqn: = {a _{k-3} +a _{k-1}} over {2}],

[eqn: a+ left( k-3 right) d=it-12] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

[eqn: S _{k} = {k left{2a+left(k-1right)d right}} over {2} =k ^{`2} `]이고, [eqn: k!=0`]이므로

[eqn: 2a+ left( k-1 right) d=2k] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉢에서 ㉠을 빼면 [eqn: a+ left( k-3 right) d=2k-42`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

㉡, ㉣에서 [eqn: 2k-42=it-12`]이므로 [eqn: k=15]

[다른 풀이 2]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a,] 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=42`], [eqn: a=42-2d`] …… ㉠

[eqn: a _{k-3} +a _{k-1}][eqn: =a+ LEFT ( k-4 RIGHT ) d+a+ LEFT ( k-2 RIGHT ) d][eqn: = it-24]이므로

[eqn: a+ LEFT ( k-3 RIGHT ) d][eqn: =it-12] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 42-2d+kd-3d=it-12], [eqn: kd-5d=-54] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

[eqn: S _{k} = {k LEFT { 2a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =k ^{`2} `]이고, [eqn: k!=0`]이므로

[eqn: 2a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d=2k] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

㉠을 ㉣에 대입하면

[eqn: 84-4d+kd-d=2k], [eqn: kd-5d=2k-84] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤

㉢, ㉤에서 [eqn: 2k-84=it-54`]이므로 [eqn: k=15]

18. [출제의도] 조건을 만족시키는 함수의 그래프를 추론하여 극댓값을 구한다.

(ⅰ) [eqn: 0<a<3`]일 때
함수 [eqn: y= (x ^{`2} -9)(x+a) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과
세 점 [eqn: (-3,``0)], [eqn: (-a,``0)], [eqn: (3,``0) `]에서 만나므로
그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)= LEFT |(x ^{` 2}-9)(x+a) RIGHT |`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=it-3], [eqn: x=it-a], [eqn: x=3`]에서 미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a = it 3]일 때
함수 [eqn: y][eqn: = (x ^{`2} -9)(x+a) `][eqn: = (x+3)^2 (x-3)]의 그래프는[eqn: x`]축과 점 [eqn: (-3,``0)]에서 접하고 점 [eqn: (3,``0)`]에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 [eqn: f(x)= LEFT |left(x +3 right)^2left (x-3 right) RIGHT |`]의 그래프 개형은 그림과 같다.

[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않으므로
주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: a>3`]일 때
함수 [eqn: y= (x ^{`2} -9)(x+a) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과
세 점 [eqn: (-a,``0)], [eqn: (-3,``0)], [eqn: (3,``0) `]에서 만나므로
그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)= LEFT |(x ^{ `2}-9)(x+a) RIGHT |`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=it-a], [eqn: x=it-3], [eqn: x=3 `]에서
미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 [eqn: a= 3]

함수 [eqn: y][eqn: = left(x^2 -9 right) (x+3) `]의 극솟값의 절댓값이

함수 [eqn: f(x)`][eqn: =left| left(x^2 -9 right) (x+3) right|`]의 극댓값이다.

[eqn: y][eqn: = left(x^{`2} -9 right)left (x+3 right)`]의 도함수는

[eqn: y' = 2x left(x+3 right) + left(x^2 -9right)][eqn: =3 left(x+3right)left(x -1right)]이므로

[eqn: y`'=0`]에서 [eqn: x= it -3] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: y][eqn: = left(x^2 -9 right) (x+3) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면

다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: y`']	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: y]	↗	[eqn: 0]	↘	[eqn: -32]	↗

그러므로 함수 [eqn: y][eqn: = left(x^2 -9 right) (x+3) `]은 [eqn: x=1`]에서

극소이고 극솟값은 [eqn: -32`]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 극대이고 극댓값은

[eqn: f(1)][eqn: = left| -32right|][eqn: = 32]

[보충 설명]

[eqn: a = 3`]일 때 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=3`]에서만 미분가능하지 않음을 보이자.

[eqn: f(x)][eqn: = LEFT | left(x^{`2}-9 right) left(x+3 right) RIGHT |]
[eqn: = LEFT | left(x+3 right) ^{`2} left(x-3 right) RIGHT |]
[eqn: = {cases{~left(x+3 right) ^{`2} left(x-3 right)~~``left(x GEQ 3 right)# ` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{`}}}}}} -left(x+3 right) ^{`2} left(x-3 right)~left(x<3 right)}}]

함수 [eqn: f(x)`]가 구간 [eqn: left(-inf,``3 right) `]과 구간 [eqn: left( 3 ``,inf right) `]에서 각각 다항함수이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x!=3 `]인 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능하다.

그런데

[eqn: lim _{x` -> `3-} {{f(x)-f(3)} over {x-3}][eqn: = lim _{x` -> `3-} {{-(x+3) ^{`2} (x-3)} over {x-3}}}][eqn: = it -36]

[eqn: lim _{x` -> `3+} {{f(x)-f(3)} over {x-3}][eqn: = lim _{x`->` 3+} {{(x+3) ^{`2} (x-3)} over {x-3}}}][eqn: =36]

이므로 극한값 [eqn: lim _{x `->` 3} {{f(x)-f(3)} over {x-3}]이 존재하지 않는다.

그러므로 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 미분가능하지 않다.

따라서 [eqn: f(x)`]는 오직 한 개의 [eqn: x] 값에서만 미분가능하지 않다.

19. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하여 주어진 조건을 만족시키는 값을 구한다.

삼각형 [eqn: \ABC`]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 3root5`]이므로 사인법칙에 의해

[eqn: 10 over {sin `C }][eqn: = 2 times 3root5], [eqn: sin`C``][eqn: = root5 over 3]

삼각형 [eqn: rmABC`]는 예각삼각형이므로

[eqn: cos`C``][eqn: = root{1- sin^2 C}][eqn: = { 2} over {3 }]

[eqn: {a ^{`2} +b ^{`2} -ab`cos`C} over {ab}][eqn: = 4 over 3]에서 [eqn: {a ^{`2} +b ^{`2} - {2} over {3} ab} over {ab} `][eqn: = 4 over 3]

[eqn: 3a ^{`2} +3b ^{`2} -2ab=4ab], [eqn: 3LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} =0`]이므로 [eqn: a=b]

코사인법칙에 의해

[eqn: 10 ^{`2}][eqn: =a ^{`2} +b ^{`2} -2ab cos`C``][eqn: = a^2 + a^2 - 2a^2 times 2 over 3][eqn: = { 2} over {3 } a^2],

[eqn: 100][eqn: = {2} over {3} a ^{`2}], [eqn: a ^{`2}][eqn: =150]

따라서 [eqn: ab][eqn: =a^{`2 }][eqn: =150]

20. [출제의도] 미분과 적분의 관계를 이용하여 함숫값 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: g ( x )][eqn: = int _{0} ^{x} {f ( t )} `dt+f( x ) `]에서

[eqn: g`prime ( x )][eqn: =f ( x ) +f`prime ( x )],

[eqn: g(0)][eqn: = int_0 ^0 f(t)`dt + f(0)][eqn: = 0+ f(0)],

[eqn: g`'(0)][eqn: = f(0) + f`'(0)]

조건 (가)에 의해

[eqn: g ( 0 )][eqn: =f ( 0 )][eqn: =0`]

[eqn: g` prime ( 0 )][eqn: =f ( 0 ) +f`prime ( 0 )][eqn: = 0+ f`'(0)][eqn: =0`]이므로 [eqn: f`prime ( 0 ) =0`]

그러므로 [eqn: x^{`2} `]은 [eqn: f(x)`]의 인수이다.

[eqn: f(x) = x^2 (x-k)](단, [eqn: k`]는 상수)라 하면

[eqn: g`'(x)][eqn: = x^3 -kx^2 +3x^2 -2kx]
[eqn: =x ^{3} + LEFT ( 3-k RIGHT ) x ^{2} -2kx`]

조건 (나)에 의해 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: g` prime ( -x ) =it-g` prime( x )]가 성립한다.

즉, [eqn: -x ^{3} + LEFT ( 3-k RIGHT ) x ^{2} +2kx][eqn: =it-x ^{3} - LEFT ( 3-k RIGHT ) x ^{2} +2kx`],
[eqn: 2 LEFT ( 3-k RIGHT ) x ^{2} =0`]에서 [eqn: k=3`]

그러므로 [eqn: f(x)][eqn: = x^2 left(x-3 right)]

따라서 [eqn: f(2)][eqn: = it -4]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)=x ^{`3} +ax ^{`2} +bx+c`]라고 놓으면

[eqn: f` prime (x)=3x ^{`2} +2ax +b]

조건 (가)에 의해 [eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: c=0`],

[eqn: f ` prime (0)=0]이므로 [eqn: b=0`]

즉, [eqn: f(x)=x ^{`3} +ax ^{`2} `]

[eqn: g`prime (x)][eqn: = f(x)+ f` prime(x)]
[eqn: =x ^{`3} +ax ^{`2} +3x ^{`2} +2ax]
[eqn: = x^3 +left(a+3 right)x^2 +2ax]

조건 (나)에 의해 함수 [eqn: y][eqn: =g` prime (x)`]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: x ^{`2}]의 계수는 [eqn: 0`]이다. 즉, [eqn: a=it-3]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{``3} -3x ^{``2} `]에서 [eqn: f(2)][eqn: =8-12][eqn: = it -4]

21. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 함수의 극댓값과 극솟값의 합을 구하는 문제를 해결한다.

함수 [eqn: f(x)`]의 삼차항의 계수를 [eqn: a`]라 하면 조건 (가)에 의해 함수 [eqn: y=f(x) `]의 그래프와 [eqn: x`]축이 서로 다른 세 점에서 만나므로 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

함수 [eqn: f(x)`]는 삼차함수이므로 실수 전체의 집합을 치역으로 갖고, 이차함수 [eqn: g(x)][eqn: = x^2 - 6x + 10][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{`2} +1`]은 [eqn: x=3`]에서 최솟값 [eqn: 1`]을 갖는다.

그러므로 조건 (나)에서 함수 [eqn: g(f(x))][eqn: = LEFT {f(x)-3 RIGHT } ^{`2} +1 `]은 [eqn: f(x)=3`]인 [eqn: x]에서 최솟값 [eqn: 1`]을 가지므로 [eqn: m=1]

한편, 방정식 [eqn: g(f(x))][eqn: =1`]의 서로 다른 실근의 개수가

[eqn: 2`]이므로 방정식 [eqn: f(x)=3`]을 만족시키는 서로 다른

실근의 개수는 [eqn: 2`]

그러므로 직선 [eqn: y=3`]과 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프의

개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

즉, 함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값은 [eqn: 3]

조건 (다)의 방정식 [eqn: g(f(x))][eqn: =17]을 풀면

[eqn: LEFT {f(x)-3 RIGHT } ^{`2} +1][eqn: =17], [eqn: left{ f(x) -3 right}^2 = 16]

[eqn: f(x) = it -1`] 또는 [eqn: f(x) = 7`]

조건 (다)에서 방정식 [eqn: g(f(x))=17`]은 서로 다른

세 실근을 갖고 위의 그래프에서 방정식 [eqn: f(x)=7`]의 실근의 개수를 유추하면 [eqn: 1`]이므로 방정식 [eqn: f(x) =it -1`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.

그러므로 세 직선 [eqn: y= it-1], [eqn: y=3], [eqn: y= 7`]과

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0`]일 때	[eqn: a<0]일 때

즉, 함수 [eqn: f(x)`]의 극솟값은 [eqn: -1]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값은 [eqn: 3], 극솟값은 [eqn: -1`]이므로 그 합은 [eqn: 3+ LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =2`]

22. [출제의도] 자연수의 거듭제곱의 합을 계산하여 값을 구한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{5} k ^{`2}][eqn: = {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6}][eqn: =55]

23. [출제의도] 미분계수를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{`3} +6x+9`]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =19]

24. [출제의도] 원순열의 정의를 이해하여 원수열의 수를 구한다.

가운데 원에 색칠하는 경우의 수는 [eqn: 7]

가운데 원에 칠한 색을 제외한 [eqn: 6]가지 색을 모두

사용하여 가운데 원을 제외한 나머지 [eqn: 6`]개의 원을 색칠하는 경우의 수는 [eqn: left(6-1right)!][eqn: =5!]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 7 TIMES 5 !][eqn: = 840]

25. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

[eqn: log`x ^{`3} -log `{1} over {x ^{`2}}] [eqn: =3log`x- LEFT ( -2log`x RIGHT )][eqn: =5log`x]

[eqn: 10 lex<1000`]에서

[eqn: 1 le log`x<3], [eqn: 5 le5 log`x<15`]

따라서 [eqn: 5 log`x`]의 값이 자연수가 되도록 하는 [eqn: x`]의

개수는 [eqn: 10]

[보충 설명]

[eqn: 5 log`x`]의 값이 자연수가 되도록 하는 [eqn: x`]의 값을

구하면 [eqn: x= 10], [eqn: 10 ^{6 over 5}], [eqn: 10^ {7 over 5}], [eqn: 10 ^{{8} over {5}}], …, [eqn: 10^ { 14 over 5}]

26. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 함수의 극한값 구하는 문제를 해결한다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -2,``0 RIGHT )],
[eqn: rm P LEFT ( itt,``t+2 RIGHT ) `]를 지나는 이차함수 [eqn: f(x)`]는

[eqn: f(x)= LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-t+1 RIGHT )]

그러므로 점 [eqn: rm Q`]의 좌표는 [eqn: rm Q LEFT ( 0,``it2-2t RIGHT )]

[eqn: rm {bar{AP}}][eqn: = sqrt {LEFT { t- LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT } ^{`2} + LEFT ( t+2-0 RIGHT ) ^{`2}}][eqn: = LEFT | t+2 RIGHT | sqrt {2}],

[eqn: rm barAQ][eqn: = sqrt {LEFT { 0- LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT } ^{`2} + LEFT { LEFT ( 2-2t RIGHT ) -0 RIGHT } ^{`2}}][eqn: =2 sqrt {t ^{`2} -2t+2}]

[eqn: lim _{t` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {2} TIMES {bar{rm AP it rm }} -bar{rmAQ} RIGHT )}][eqn: = lim _{t `-> ` INF } {LEFT ( 2 LEFT | t+2 RIGHT | -2 sqrt {t ^{`2} -2t+2} RIGHT )}][eqn: =2` lim _{t` -> ` INF } {} {LEFT | `t+2` RIGHT | ^{2} - LEFT ( t ^{`2} -2t+2 RIGHT )} over {LEFT | `t+2` RIGHT | + sqrt {t ^{`2} -2t+2}}]
[eqn: =2` lim _{t` -> ` INF } {{6t+2} over {LEFT | `t+2` RIGHT | + sqrt {t ^{`2} -2t+2}}}]
[eqn: =2` lim _{t` -> ` INF } {{6+ {2} over {t}} over {LEFT | 1+ {2} over {t} RIGHT | + sqrt {1- {2} over {t} + {2} over {t ^{`2}}}}}]
[eqn: =2times {6+0} over {1+1}]
[eqn: =6]

27. [출제의도] 속도와 거리의 성질을 이용하여 거리 구하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: \P`]가 운동 방향을 바꿀 때 속도는 [eqn: 0`]이므로

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = 3t ^{`2} -12t+9`][eqn: = 3left(t-1 right) left(t-3 right)][eqn: =0`], [eqn: t=1] 또는 [eqn: t=3`]

[eqn: 0 le t <1]에서 [eqn: v(t) >0],

[eqn: 1 <t < 3]에서 [eqn: v(t) <0],

[eqn: t>3`]에서 [eqn: v(t) >0`]

이므로 점 [eqn: \P`]는 [eqn: t=1`]일 때 처음으로 운동 방향을 바꾸고 [eqn: t=3`]일 때 다시 운동 방향을 바꾼다.

그러므로 점 [eqn: \P`]가 [eqn: \A`]에서 방향을 바꾼 순간부터 다시 [eqn: \A`]로 돌아올 때까지 움직인 거리는 점 [eqn: \P`]가 [eqn: t=1`]부터 [eqn: t=3`]까지 이동한 거리의 [eqn: 2`]배이다.

따라서 구하는 값은

[eqn: 2int_1^3 left|v(t)right| dt][eqn: =2 int _{1} ^{`3} {} left(-3t ^{2} +12t-9 right)dt]
[eqn: =2 LEFT [ pile{`#`} -t ^{`3} +6t ^{`2} -9t RIGHT ] _{1}^{3}]
[eqn: =8]

[다른 풀이]

점 [eqn: \P`]가 다시 [eqn: \A`]로 돌아올 때의 시각을 [eqn: t=a`](단, [eqn: a>1])라 하면

[eqn: int_1 ^a v(t)`dt][eqn: =0`]이므로

[eqn: int_1 ^a v(t)`dt][eqn: = int_1 ^a left(3t^2 - 12t +9 right) dt]
[eqn: = left[ pile{`#`} t^3 -6t^2 + 9t right] _1 ^a]
[eqn: = a^3 - 6a^2 + 9a -4]
[eqn: = left(a-1 right)^2 left(a-4 right)][eqn: =0]

그러므로 [eqn: t=4`]일 때 점 [eqn: \P`]가 다시 [eqn: \A`]로 돌아온다.

따라서

[eqn: int_1 ^4 left|v(t)right| dt][eqn: = it-int_1 ^3 v(t) dt + int_3 ^4 v(t) dt]
[eqn: = it-int_1 ^3 left( 3t^2 - 12t +9 right)dt + int_ 3 ^4 left( 3t^2 - 12t + 9 right)dt]
[eqn: = it-left[ pile{`#`} t^3 -6t^2 + 9t right] _1 ^3 +left[ pile{`#`} t^3 -6t^2 + 9t right] _3 ^4]
[eqn: =8]

28. [출제의도] 도함수를 이용하여 부등식과 관련된 문제를 해결한다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) le 12x + k le g(x)`]를 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 값의 범위를 구하여 보자.

(ⅰ) [eqn: f(x) LEQ 12x+k]
모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: f(x)LEQ 12x+k`]를
만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위를 구하면 다음과 같다.
[eqn: h (x)][eqn: =f(x) - 12x`]라고 하면
[eqn: h (x)][eqn: =it-x^4 - 2x^3 -x^2 -12x],
[eqn: h `'(x)][eqn: = it - 4x^3 -6x^2 -2x -12][eqn: = it -2 (x+2)(2x^2 -x+3)]
[eqn: h (x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h `'(x)]	+	[eqn: 0]	-
[eqn: h (x)`]	↗	[eqn: 20]	↘

[eqn: h (x)`]는 [eqn: x= it -2`]에서 최대이고 최댓값은 [eqn: 20`]
그러므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식
[eqn: f(x)` LEQ 12x+k`]를 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는

[eqn: k ge 20]

(ⅱ) [eqn: g(x) ge 12x+k]
모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: g(x) GEQ 12x+k`]를
만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위를 구하면 다음과 같다.
부등식 [eqn: 3x^2 - 12x + a-k GEQ 0`]이 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 [eqn: 3x^2 - 12x + a-k = 0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: D over 4][eqn: = left(-6 right)^2 - 3 times left( a-k right)][eqn: le 0], [eqn: k le a- 12]
모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: g(x)` ge 12x+k`]를
만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: k le a- 12]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: 20 le k le a- 12`]이고 이를 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 3`]이므로 [eqn: 22 le a-12 < 23]

따라서 [eqn: 34 le a < 35 `]이므로 자연수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 34]

[보충 설명]

두 함수 [eqn: y= f(x)], [eqn: y= g(x)`]의 그래프와 직선

[eqn: y= 12x+k`]의 관계는 그림과 같다.

29. [출제의도] 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 넓이 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: rm ANGLE BAD`]와 [eqn: rm ANGLE BCD`]는 같은 호에 대한 원주각이므로

그 크기가 같다.

[eqn: rm ANGLE BAD= ANGLEBCD= theta`], [eqn: rm bar { AD}=ita`], [eqn: rm {bar{CB}} = it b`]라 하면

삼각형 [eqn: rm ABD`]의 넓이 [eqn: S _{1}`]은

[eqn: S _{1}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AB }} TIMES {bar{rmAD}} TIMES sin` theta][eqn: = {1} over {2} TIMES 6 TIMES a TIMES sin` theta][eqn: = 3a sin `theta]

삼각형 [eqn: rm CBD]의 넓이 [eqn: S _{2}`]는

[eqn: S _{2}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm CB it}} TIMES {bar{rm CD it}} TIMES sin `theta][eqn: = {1} over {2} TIMES b TIMES4 TIMES sin` theta `][eqn: = 2b sin`theta]

[eqn: S _{1} :S _{2} =9:5`]이므로 [eqn: 3a:2b=9:5]

[eqn: a:b=6:5`]이므로 [eqn: a=6k], [eqn: b=5k`]([eqn: k >0])라고 하자.

삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{`2}][eqn: = 6^2 + LEFT ( 5k RIGHT ) ^{`2} -2 TIMES 6 TIMES 5k TIMES cos `alpha] …… ㉠

[eqn: rm ANGLE ABC`]와 [eqn: rm ANGLE ADC`]는 같은 호에 대한 원주각이므로

[eqn: rm ANGLE ABC= ANGLE ADC= alpha]

삼각형 [eqn: rm ADC`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: { bar{\AC}} ^{`2}][eqn: = LEFT ( 6k RIGHT ) ^{`2} +4 ^{`2} -2 TIMES 6k TIMES 4 TIMES cos `alpha] …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 11k ^{ `2}+9k-20=0], [eqn: (11k+20)(k-1)=0]

[eqn: k >0`]이므로 [eqn: k=1`]이고 [eqn: a][eqn: =6k][eqn: =6]

[eqn: sin` alpha`][eqn: =root{1 - cos^2 alpha}][eqn: = root{1- left( 3 over 4 right)^{`2}}][eqn: =root7 over 4]

삼각형 [eqn: rmADC`]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AD it}} TIMES {bar{rm CD it}} TIMES sin`alpha][eqn: = {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4 TIMES root7 over 4][eqn: = 3root7]

따라서 [eqn: S^{`2}][eqn: = (3root7 )^{`2}][eqn: = 63]

30. [출제의도] 평행이동을 이용하여 정의된 함수의 그래프를 추론하여 정적분의 값을 구한다.

문제에서 [eqn: int _{0} ^{1} {} f ( x ) dx=1`]이고, 함수 [eqn: y=f ( x )`]의

그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

그러므로 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 [eqn: 3-1=2`]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 3,``6 RIGHT ] `]에서 [eqn: int _{3} ^{6} {} g(x)`dx`][eqn: = int _{3} ^{6} {} LEFT | g(x) RIGHT | `dx`]는

곡선 [eqn: y=g(x)`]와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=3], [eqn: x=6`]으로

둘러싸인 도형의 넓이이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프
와 구하는 영역을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

닫힌구간 [eqn: left[ 3,``5right]`]에서 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y=`f(x)]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼 평행이동하고 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 12`]만큼 평행이동한 그래프이므로 [eqn: int _{3} ^{5} {} g(x)`dx][eqn: =2 times 12][eqn: =24 `]

닫힌구간 [eqn: left[5,``7 right]`]에서 함수 [eqn: y= g(x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 6`]만큼 평행이동하고 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 18`]만큼 평행이동한 그래프이므로 [eqn: int _{5} ^{6} {} g(x)`dx][eqn: =15 TIMES 1+2=`17]

따라서 [eqn: int _{3} ^{6} {} g(x)`dx][eqn: = int _{3} ^{5} {} g(x)`dx+ int _{5} ^{6} {} g(x)`dx][eqn: =41]