2020학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

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고 3	수학 영역(가형)

	수학 영역(가형)	고 3

제 2 교시

5 지선다형

1. [eqn: 8 ^{`{4} over {3}} times 2^{`-2} `]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: a _{`2} =5], [eqn: a _{`5} =11`]일 때, [eqn: a _{`8}`]의 값은?

[2점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

3. [eqn: lim _{n `rarrow` INF} {LEFT ( sqrt {4n ^{`2} +2n+1} - sqrt {4n ^{`2} -2n-1} RIGHT )}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 함수 [eqn: f ( x ) =x ^{`3} -2x ^{`2} `]에 대하여 [eqn: lim _{h`->`0} {{f ( 2+2h ) -f ( 2 )} over {h}} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

5. 수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S_{`n} `]이라 할 때, [eqn: S_{`n} = 2n^{`2} -3n`]이다. [eqn: a_{`n} > 100`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]	④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

6. 부등식 [eqn: log _{`18} ` LEFT ( n ^{`2} -9n+18 RIGHT )`][eqn: <1`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

7. 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만든 네 자리 자연수가 [eqn: 2100`]보다 작은 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]	④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

8. 함수 [eqn: y= f (x )`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x`->`0+} {f(x-1)+][eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( f(x) RIGHT )} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

9. 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{`1} =7`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{`n+1} = {cases{{a _{`n} +3} over {2} ~&#`a _{`n} +n&}}]	([eqn: a _{n}]이 소수인 경우) ([eqn: a _{n}]이 소수가 아닌 경우)

를 만족시킨다. [eqn: a _{`8} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

10. 그림과 같이 두 함수 [eqn: y= a x ^{`2} +2`]와 [eqn: y=2 left| x right|]의 그래프가 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]에서 각각 접한다. 두 함수 [eqn: y= a x ^{`2} +2`]와 [eqn: y=2 left| x right|]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {6}]

11. 흰 공 [eqn: 2`]개, 빨간 공 [eqn: 2`]개, 검은 공 [eqn: 4`]개를 일렬로 나열할 때, 흰 공은 서로 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점]

① [eqn: 295]	② [eqn: 300]	③ [eqn: 305]	④ [eqn: 310]	⑤ [eqn: 315]

12. 두 함수

[eqn: f(x)= {cases{```` {1} over {x-1} `&&LEFT ( x<1 RIGHT )#`` {1} over {2x+1} `&&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}} `],

[eqn: g(x)= 2x^{`3} +ax +b]

에 대하여 함수 [eqn: f(x) g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: b-a`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 6]

13. 공비가 [eqn: 1`]보다 큰 등비수열 [eqn: left{ a_{`n} right}`]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{`3} times a_{`5} times a_{`7 } = 125]

(나) [eqn: {a _{`4} +a _{`8}} over {a _{`6}} = {13} over {6}]

[eqn: a_{`9}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 45 over 4]	③ [eqn: 25 over 2]	④ [eqn: 55 over 4]	⑤ [eqn: 15]

14. 함수 [eqn: y= log_{`3}` left| 2x right|]의 그래프와 함수 [eqn: y = log_{`3} `left (x+3 right)`]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 하자. 점 [eqn: rm A`]를 지나고 직선 [eqn: rm AB`]와 수직인 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는? (단, 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: \B`]의 [eqn: x`]좌표보다 작다.) [4점]

① [eqn: 13 over 2]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 15 over 2]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 17 over 2`]

15. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`] [eqn: left(t ge 0 right)`]에서의 속도 [eqn: v (t )`]의 그래프가 그림과 같다.

점 [eqn: rmP`]가 출발한 후 처음으로 운동 방향을 바꿀 때의 위치는 [eqn: -8`]이고 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t=c`]에서의 위치는 [eqn: -6`]이다.

[eqn: int _{0} ^{b} {v (t )} dt = int _{ b} ^{ c} {v (t )} dt`]일 때, 점 [eqn: rmP`]가 [eqn: t=a`]부터 [eqn: t=b`]까지 움직인 거리는? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

16. 함수 [eqn: f ( x )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f ( x ) =x ^{`3} -4x int _{0} ^{1} {LEFT | f ( t ) RIGHT | dt}]

를 만족시킨다. [eqn: f ( 1 ) >0`]일 때, [eqn: f ( 2 )`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

17. [eqn: 0<a<6`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 원점에서 곡선 [eqn: y=x left(x-a right) left(x-6 right)`]에 그은 두 접선의 기울기의 곱의 최솟값은?

[4점]

① [eqn: -54]	② [eqn: -51]	③ [eqn: -48]	④ [eqn: -45`]	⑤ [eqn: -42]

18. 다음은 [eqn: 1 LEQ LEFT | m RIGHT | <n LEQ 10`]을 만족시키는 두 정수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것이 존재하도록 하는 순서쌍 [eqn: left(m,``n right)`]의 개수를 구하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: m>0`]인 경우
[eqn: n`]의 값에 관계없이 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것이 존재한다. 그러므로 [eqn: m>0`]인 순서쌍 [eqn: left(m,``n right)`]의 개수는 [eqn: box{ ~~(가)^`~ ~}`]이다.

(ⅱ) [eqn: m <0`]인 경우
[eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것이 항상 존재한다. 한편, [eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것은 존재하지 않는다. 그러므로 [eqn: m<0`]인 순서쌍 [eqn: left(m,``n right)`]의 개수는 [eqn: {BOX{~~(나)^`~~}} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: m`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것이 존재하도록 하는 순서쌍 [eqn: LEFT( m,``n)`]의 개수는

[eqn: {BOX{~~(가) ^{`} ~~}}`+`{BOX{~~(나) ^{`} ~~}} `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q`]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값은? [4점]

① [eqn: 70]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 50]

19. 그림과 같이 중심이 [eqn: rmO`]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {10} `]인 원에 내접하는 예각삼각형 [eqn: rmABC`]에 대하여 두 삼각형 [eqn: rmOAB], [eqn: rm OCA`]의 넓이를 각각 [eqn: S_{`1}], [eqn: S_{`2}`]라 하자. [eqn: 3S_{`1} = 4S_{`2}`]이고 [eqn: bar{rm BC it} =2 sqrt {5} `]일 때, 선분 [eqn: rmAB`]의 길이는? [4점]

① [eqn: 2SQRT7]	② [eqn: sqrt {30}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]	④ [eqn: SQRT34]	⑤ [eqn: 6]

20. 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO` LEFT ( 0,``0 RIGHT )], [eqn: rmA `LEFT ( 0,``2 RIGHT )], [eqn: rmB `LEFT ( -2,``2 RIGHT )], [eqn: rm C `LEFT ( -2,``0 RIGHT )`]과 점 [eqn: rm P` LEFT (it t,``0 RIGHT ) `][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )`]에 대하여 직선 [eqn: l`]이 정사각형 [eqn: rmOABC`]의 넓이와 직각삼각형 [eqn: rmAOP`]의 넓이를 각각 이등분한다.  양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: l`]의 [eqn: y`]절편을 [eqn: f ( t )`]라 할 때, [eqn: lim _{t`->`0+} {f ( t )}`]의 값은? [4점]

① [eqn: {2 - sqrt2} over 2]	② [eqn: {2 - sqrt2 }]	③ [eqn: {2 + sqrt2 } over 4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {2 + sqrt2} over{3}]

21. [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: m`]에 대하여 두 함수

[eqn: f(x)=2x ^{`3} -8x],

[eqn: g(x)= {cases{- {47} over {m} x+ {4} over {m ^{`3}} && LEFT ( x<0 RIGHT )#```` 2m x+ {4} over {m ^{`3}}&& LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

이 있다. 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f ( x )`]와 [eqn: g ( x )] 중 크지 않은 값을 [eqn: h(x)`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: m=it-1`]일 때, [eqn: h LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `][eqn: =it-5`]이다. ㄴ. [eqn: m= it -1`]일 때, 함수 [eqn: h ( x ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 2`]이다. ㄷ. 함수 [eqn: h ( x ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 1`]인 양수 [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: 6`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 함수 [eqn: f ( x ) = LEFT ( 2x +3 RIGHT ) LEFT ( x ^{`2} +5 RIGHT )]에 대하여 [eqn: f`prime( 1 )`]의 값을 구하시오.

[3점]

23. 중심각의 크기가 [eqn: 1`]라디안이고 둘레의 길이가 [eqn: 24`]인 부채꼴의 넓이를 구하시오. [3점]

24. [eqn: int _{1} ^{3} {LEFT ( 4x ^{`3} -6x +4 RIGHT ) dx + int_{1} ^3 {left( 6x -1right) dx`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 두 수열 [eqn: left{a_{`n}right}], [eqn: left{b_{`n} right}`]이

[eqn: lim_{n`->`infty}{n^{`2} a_{`n}}][eqn: =3], [eqn: lim_{n`->`infty}{{b_{`n}} over n}=5`]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {n`a _{`n} LEFT ( b _{`n} +2n RIGHT )} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 좌표평면에서 제[eqn: `1`]사분면에 점 [eqn: rmP`]가 있다. 점 [eqn: rmP`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ`]라 하고, 점 [eqn: rmQ`]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmR`]라 할 때, 세 동경 [eqn: rmOP], [eqn: rmOQ], [eqn: rmOR`]가 나타내는 각을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma``]라 하자.

[eqn: sin` alpha = {1} over {3}`]일 때, [eqn: 9` left(sin ^{`2} ` beta +tan^{`2} ` gamma right)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이고, 시초선은 [eqn: x`]축의 양의 방향이다.) [4점]

27. 그림과 같이 합동인 [eqn: 9`]개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.

빨간색과 파란색을 포함하여 총 [eqn: 9`]가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다.

(가) 주어진 [eqn: 9`]가지의 색을 모두 사용하여 칠한다.

(나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다.

(다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다.

색칠판을 칠하는 경우의 수는 [eqn: k times 7!`]이다. [eqn: k`]의 값을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]

28. [eqn: 0<a< 4 over7`]인 실수 [eqn: a`]와 유리수 [eqn: b`]에 대하여 닫힌구간 [eqn: left[ - pi over {a} , ``{ 2pi } over { a }right]`]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = 2 `sin left(ax right) `][eqn: +b`]가 있다.

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A` it LEFT ( - pi over 2 , ``0 RIGHT )], [eqn: rmB` it LEFT ( 7 over 2 pi ,` `0 RIGHT )`]을 지날 때, [eqn: 30 left(a+b right)`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 점 [eqn: rmA` left( it 0,``n+5 right)], [eqn: rmB` left( it n+4,``0 right)`]과 원점 [eqn: rmO`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmAOB`]가 있다. 삼각형 [eqn: rmAOB`]의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가 [eqn: 1`]이고 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를 [eqn: a _{`n}`]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{`n}`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 최고차항의 계수가 [eqn: 4`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]와 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= int_t^x {f(s)}ds`]

라 하자. 상수 [eqn: a`]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f`prime(a)=0`]

(나) 함수 [eqn: left| g(x) - g(a) right| `]가 미분가능하지 않은 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 1`]이다.

실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: g(a)`]의 값을 [eqn: h(t)`]라 할 때, [eqn: h (3 )=0`]이고 함수 [eqn: h(t)`]는 [eqn: t=2`]에서 최댓값 [eqn: 27`]을 가진다.

[eqn: f(5)`]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.