2020학년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수학 영역 •

정 답

1	④	2	①	3	③	4	④	5	②
6	②	7	③	8	②	9	⑤	10	③
11	⑤	12	⑤	13	①	14	①	15	④
16	③	17	③	18	②	19	④	20	⑤
21	①	22	[eqn: 6]	23	[eqn: 33]	24	[eqn: 25]	25	[eqn: 36]
26	[eqn: 5]	27	[eqn: 9]	28	[eqn: 22]	29	[eqn: 960]	30	[eqn: 13]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 뺄셈을 계산한다.

[eqn: A-B][eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -3xy RIGHT ) - LEFT ( x ^{2} -4xy-y^2 RIGHT )]
[eqn: =x ^{2} +xy+y^2]

2. [출제의도] 복소수를 계산한다.

[eqn: i^2][eqn: =it-1`]이므로

[eqn: 1+i ^{2}][eqn: =1+(-1)][eqn: =0]

3. [출제의도] 절댓값 기호를 포함한 일차부등식을 계산한다.

[eqn: LEFT | x-2 RIGHT | <3`]에서

[eqn: -3<x-2<3`]

각 변에 [eqn: 2`]를 더하면

[eqn: -1<x<5`]

따라서 조건을 만족시키는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]

이므로 그 개수는 [eqn: 5`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: LEFT | ``x-2` RIGHT | <3`]에서

[eqn: -3<x-2<3`]

[eqn: -3<x-2`]에서

[eqn: x>it-1] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x-2<3`]에서

[eqn: x<5] [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: -1<x<5`]

따라서 조건을 만족시키는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]

이므로 그 개수는 [eqn: 5`]이다.

4. [출제의도] 두 직선이 수직일 조건을 이해하여 직선의 기울기를 구한다.

직선 [eqn: y=it-2x+3`]의 기울기는 [eqn: -2`]이고

직선 [eqn: y=ax+1`]의 기울기는 [eqn: a`]이다.

두 직선이 서로 수직이려면 두 직선의 기울기의 곱이 [eqn: -1`]이어야 한다.

따라서 [eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES a= it -1`]이므로 [eqn: a= {1} over {2}]

5. [출제의도] 합성함수를 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: f(5)=9`]이다.

[eqn: f(9)=3`]이고 [eqn: f(3)=7`]이므로

[eqn: LEFT (` f CIRC f RIGHT ) (9)][eqn: =f(`f(9))][eqn: =f ( 3 )][eqn: =7`]

따라서 [eqn: f(5)+ LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (9)][eqn: =9+7][eqn: =16]

6. [출제의도] 나머지정리를 이해하여 나머지를 구한다.

[eqn: P(x)][eqn: =x ^{2} +3x+6`]이라 하자.

다항식 [eqn: P(x)`]를 [eqn: x+2`]로 나눈 나머지는

[eqn: P(-2)][eqn: = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +3 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +6][eqn: =4]

7. [출제의도] 선분의 내분을 이해하여 점의 좌표를 구한다.

선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {6} over {1+2} ,``` {2a} over {1+2} RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( 2,``` {2a} over {3} RIGHT )]

이 점이 직선 [eqn: y=it-x] 위의 점이므로

[eqn: {2a} over {3} =it-2], [eqn: a][eqn: = LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES {3} over {2}][eqn: =it-3]

8. [출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계를 이해하여 상수의 값을 구한다.

곡선 [eqn: y=2x^2 -5x+a`]와 직선 [eqn: y=x+12`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 하자.

두 식 [eqn: y=2x ^{2} -5x+a], [eqn: y=x+12`]를 연립하면

[eqn: 2x^2 -5x+a = x+12]

[eqn: 2x^2 -6x+a-12=0] [eqn: cdotscdots] ㉠

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha beta = {a-12} over {2}]

이때 조건에서 [eqn: alpha beta =it-4`]이므로

[eqn: {a-12} over {2} =it-4], [eqn: a= 4]

[보충 설명]

[eqn: a=4`]를 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{2} -3x-4=0], [eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =0]
따라서 곡선 [eqn: y=2x^2 -5x+a`]와 직선 [eqn: y=x+12`]는 서로 다른 두 점에서 만나고 두 점의 [eqn: x`]좌표는 각각 [eqn: -4], [eqn: 1`]이다.

9. [출제의도] 집합의 연산을 이해하여 차집합의 원소의 합을 구한다.

[eqn: B-A= LEFT { 5,```6 RIGHT }]에서 집합 [eqn: B-A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 11]

[eqn: B= LEFT ( B-A RIGHT ) CUP LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )], [eqn: LEFT ( B-A RIGHT ) SMALLINTER LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) = EMPTYSET]

이고

[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]

이므로 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합이 [eqn: 12`]이려면

[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 1 RIGHT }]

따라서

[eqn: A-B][eqn: =A- LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = LEFT { 2,```3,```4 RIGHT }]

이므로 집합 [eqn: A- B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+3+4=9]

[다른 풀이]

[eqn: A cup B][eqn: =A CUP LEFT ( B-A RIGHT )][eqn: = LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT }]

이므로 집합 [eqn: A cup B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+3+4+5+6=21]

[eqn: A-B][eqn: = LEFT ( A CUP B` RIGHT ) -B], [eqn: LEFT ( A CUP B` RIGHT ) SMALLINTER B=B]

이고, 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합이 [eqn: 12`]이므로 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 21-12=9]

10. [출제의도] 항등식의 성질을 이해하여 값을 구한다.

등식

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+ax+b]

의 양변에 [eqn: x=it-1`]을 대입하면

[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 0 TIMES 1=0 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES P(-1)+a TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +b]

[eqn: 0=it-a+b] [eqn: cdotscdots] ㉠

등식

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+ax+b]

의 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: 1 TIMES 2 TIMES 3=2 TIMES 0 TIMES P(1)+a TIMES 1+b]

[eqn: 6= a+b] [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=3], [eqn: b=3]

따라서 주어진 등식은

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+3x+3]

[eqn: a-b=0`]이므로 위 등식의 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: 0 TIMES 1 TIMES 2=1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES P(0)+3 TIMES 0+3]

[eqn: P(0)][eqn: =3]

따라서

[eqn: P(a-b)][eqn: =P(0)][eqn: =3]

[다른 풀이]

등식

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+ax+b]

의 좌변이

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]
[eqn: =x ^{3} +3x ^{2} +2x]

이므로 다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x`]를 [eqn: x ^{2} -1`]로 나눈 몫이 다항식 [eqn: P(x)`]이고 나머지가 [eqn: ax+b`]이다.

	[eqn: x]		[eqn: ``+3]
[eqn: x ^{2} -1]		[eqn: x ^{3}]	[eqn: +3x ^{2}]	[eqn: +2x ^{`}]
	[eqn: x ^{3}]			[eqn: -x ^{`}]
			[eqn: 3x ^{2}]	[eqn: +3x ^{`}]
			[eqn: 3x ^{2}]		[eqn: -3 ^{`}]
				[eqn: 3x]	[eqn: +3]

즉 [eqn: P(x)][eqn: =x+3`]이고, [eqn: a=3], [eqn: b=3`]이다.

이때 [eqn: a-b=0`]이므로 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: P(0)][eqn: =0+3][eqn: =3]

따라서

[eqn: P(a-b)][eqn: =P(0)][eqn: =3]

11. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 이해하여 점의 좌표를 구한다.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 중 제[eqn: `1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```y _{1} RIGHT )] [eqn: left(x_1 >0], [eqn: y_1 >0 `right)`]이라 하자.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x _{1} ,```y _{1} RIGHT ) `]에서의 접선의 방정식은

[eqn: x_1 x+ y_1 y = 1`]

이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 0,```3 RIGHT ) `]을 지나므로

[eqn: 0+3y _{1} =1]

[eqn: y_1 = 1 over 3`]

점 [eqn: rm P it LEFT ( x _{1} ,```y _{1} RIGHT ) `]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점이므로
[eqn: x _{1} it ^{2} +y _{1} it ^{2} =1]

[eqn: x _{1} it ^{2} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} =1]

[eqn: x _{1} it ^{2} = {8} over {9}]

[eqn: x_1 >0`]이므로

[eqn: x_1 = {2 sqrt2} over {3}]

[다른 풀이 1]

점 [eqn: rm P`]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 0,```3 RIGHT ) `]을 지나므로 접선의 방정식은

[eqn: y=mx+3]

직선 [eqn: y=mx+3`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =1`]에 접하므로 원의 중심 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT ) `]과 직선 [eqn: mx-y+3=0] 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 [eqn: 1`]과 같아야 한다.

[eqn: {LEFT | 0-0+3 RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +(-1) ^{2}}} =1]

[eqn: sqrt {m ^{2} +1} =3]

[eqn: m ^{2} =8]

이 원과 직선이 제[eqn: `1`]사분면에서 접하려면 [eqn: m<0`]이어야 하므로

[eqn: m= it -2 sqrt {2}]

두 식 [eqn: y= it -2 sqrt {2} x+3], [eqn: x^2 + y^2 =1`]을 연립하여 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x ^{2} + LEFT ( -2 sqrt {2} x+3 RIGHT ) ^{2} =1]

[eqn: 9x ^{2} -12 sqrt {2} x+8=0]

[eqn: LEFT ( 3x-2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: x= {2 sqrt {2}} over {3}]

[다른 풀이 2]

점 [eqn: LEFT ( 0,```3 RIGHT ) `]을 [eqn: rmA`]라 하고 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

직선 [eqn: rm AP`]가 점 [eqn: rm P`]에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1`]에 접하므로 원점 [eqn: rmO`]에 대하여

[eqn: rm angleOPA=90°`]

직각삼각형 [eqn: rm OPA`]에서

[eqn: rm {bar{OA}} =3], [eqn: rm {bar{OP}} =1]

이므로

[eqn: bar{rmAP}][eqn: = sqrt {3 ^{2} -1 ^{2}}][eqn: =2 sqrt {2}]

이때 삼각형 [eqn: rm OPA`]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times rm bar OA times bar PH][eqn: = 1 over 2 times rm bar OP times bar AP]

[eqn: 3 times rm bar PH][eqn: = 2 sqrt2]

[eqn: rm bar PH][eqn: ={ 2sqrt2} over {3}]

점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는 선분 [eqn: rm PH`]의 길이와 같으므로 구하는 값은 [eqn: {2sqrt2} over {3}`]이다.

12. [출제의도] 부등식을 이용하여 필요조건이 되도록 하는 문제를 해결한다.

조건 [eqn: p`]의 진리집합을 [eqn: P`]라 하면

[eqn: P= LEFT { x`|`a<x<5 RIGHT }]

이고 조건 [eqn: simp`]의 진리집합은

[eqn: P ^{C} = LEFT { x`|`x{le}a```또는```x{ge}5 RIGHT }]

조건 [eqn: q`]의 진리집합을 [eqn: Q`]라 하면

[eqn: x ^{2} -x-2<0`]에서

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) <0]

[eqn: -1<x<2]

이므로

[eqn: Q= LEFT { x`|`-1<x<2 RIGHT }]

이때 [eqn: simp`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되려면 [eqn: Q SUBSET P^C`]이어야 한다.

따라서 [eqn: 2 le a <5`]이므로 정수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

13. [출제의도] 인수분해를 이용하여 연립방정식의 해를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: x^2 - 3xy +2y ^2 =0`]에서

[eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( x-2y RIGHT ) =0]

[eqn: x=y] 또는 [eqn: x=2y]

[eqn: x=y`]일 때, [eqn: x ^{2} -y ^{2}][eqn: =y ^{2} -y ^{2}][eqn: =0`]이므로 [eqn: x^2 - y^2 = 9`]라는 조건을 만족시키지 않는다.

[eqn: x=2y`]일 때, [eqn: x^2 - y^2][eqn: =(2y) ^{2} -y ^{2}][eqn: =3y ^{2}][eqn: =9`]에서

[eqn: y ^{2} =3]

[eqn: y= sqrt {3}] 또는 [eqn: y=it- sqrt {3}]

[eqn: y= sqrt {3} `]이면 [eqn: x=2 sqrt {3}]

[eqn: y=it- sqrt {3} `]이면 [eqn: x=it-2 sqrt {3}]

[eqn: alpha_1 <alpha_2`]이므로

[eqn: alpha _{1} =it-2 sqrt {3}], [eqn: beta _{1} =it- sqrt {3}]

[eqn: alpha _{2} =2 sqrt {3}], [eqn: beta _{2} = sqrt {3}]

따라서

[eqn: beta _{1} - beta _{2}][eqn: =it- sqrt {3} - sqrt {3}][eqn: =it-2 sqrt {3}]

14. [출제의도] 이차함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)=x ^{2} -2x+a`]에서

[eqn: f(2)=2 ^{2} -4+a=a]

[eqn: f(4)=4 ^{2} -8+a=a+8]

[eqn: LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (2)= LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (4)`]에서

[eqn: f(f(2))=f(f(4))]

[eqn: f(a)=f(a+8)]

이때 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x+a`]에서

[eqn: f(x)= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +a-1]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 축이 직선 [eqn: x=1`]이고, 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이다.

[eqn: a != a+8`]이므로 [eqn: f(a)=f(a+8)`]이려면

[eqn: {a+ LEFT ( a+8 RIGHT )} over {2} =1]

[eqn: a=it-3]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x-3`]이므로

[eqn: f(6)][eqn: =6 ^{2} -2 TIMES 6-3][eqn: =21]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)=x ^{2} -2x+a`]에서

[eqn: f(2)=2 ^{2} -4+a=a]

[eqn: f(4)=4 ^{2} -8+a=a+8]

[eqn: LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (2)= LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (4)`]에서

[eqn: f(f(2))=f(f(4))]

[eqn: f(a)=f(a+8)]

[eqn: a ^{2} -2a+a][eqn: = LEFT ( a+8 RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( a+8 RIGHT ) +a]

[eqn: 16a=it-48]

[eqn: a=it-3]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x-3`]이므로

[eqn: f(6)][eqn: =6 ^{2} -2 TIMES 6-3][eqn: =21]

15. [출제의도] 조합을 이용하여 삼각형의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

위의 그림에서 두 직선 [eqn: rm AD], [eqn: rm AF`]와 직선 [eqn: l_3`]을 선택하면 색칠된 부분과 같은 삼각형이 만들어진다.

이와 같이 [eqn: 6`]개의 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm AD], [eqn: rm AE], [eqn: rm AF], [eqn: rm AG], [eqn: rm AC] 중 서로 다른 [eqn: 2`]개의 직선을 택하고, [eqn: 4`]개의 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}], [eqn: l _{3}], [eqn: rm BC] 중 [eqn: 1`]개의 직선을 택하면 삼각형이 [eqn: 1`]개 만들어진다.

따라서 이 도형의 선들로 만들 수 있는 삼각형의 개수는

[eqn: `_6 rm C_2 times `_4 rm C_1 =1 5 times 4`][eqn: =60`]

16. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f` ^{-1} (g(x))=2x`]에서

[eqn: f(f` ^{-1} (g(x)))=f(2x)`]

[eqn: g(x)=f(2x)]

따라서 [eqn: g(3)][eqn: =f(6)][eqn: = sqrt {6}]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)= sqrt {3x-12} `]에서

[eqn: f` ^{-1} (x)= {1} over {3} x ^{2} +4] [eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: f` ^{-1} (g(x))=2x`]에서

[eqn: {1} over {3} LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} +4=2x]

이때 [eqn: x GEQ 2`]에서 [eqn: g(x) GEQ 0`]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = sqrt {6x-12}]

따라서 [eqn: g(3)][eqn: = sqrt {6 TIMES 3-12}][eqn: = sqrt {6}]

17. [출제의도] 곱의 법칙을 이용하여 색을 칠하는 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: 1`]이 적힌 정사각형과 [eqn: 6`]이 적힌 정사각형에 같은 색을 칠해야 하고, 변을 공유하는 두 정사각형에는 서로 다른 색을 칠하므로 [eqn: 1], [eqn: 6], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 4`]가 적힌 정사각형의 순서로 색을 칠한다고 생각하자.

서로 다른 [eqn: 4`]가지 색의 일부 또는 전부를 사용하여 색을 칠하므로

[eqn: 1`]이 적힌 정사각형에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 4`]가지

[eqn: 6`]이 적힌 정사각형에는 [eqn: 1]이 적힌 정사각형에 칠한 색과 같은 색을 칠해야 하므로 칠할 수 있는 색은 [eqn: 1`]가지

[eqn: 2`]가 적힌 정사각형에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 1`]이 적힌 정사각형에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3`]가지

[eqn: 3`]이 적힌 정사각형에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 2], [eqn: 6`]이 적힌 정사각형에 칠한 색을 제외한 [eqn: 2``]가지

[eqn: 5`]가 적힌 정사각형에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 2], [eqn: 6`]이 적힌 정사각형에 칠한 색을 제외한 [eqn: 2``]가지

[eqn: 4`]가 적힌 정사각형에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 1], [eqn: 5`]가 적힌 정사각형에 칠한 색을 제외한 [eqn: 2``]가지

따라서 조건을 만족시키도록 색을 칠하는 경우의 수는

[eqn: 4 times 1 times 3 times 2 times 2 times 2 =96`]

18. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 기울기를 추론한다.

선분 [eqn: rmOA`]의 중점을 [eqn: rm M], 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rmG`]에서 직선 [eqn: rmOA`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rm E`]라 하자.

점 [eqn: rm G`]가 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심이므로

[eqn: {bar{rm BG it}} `:` {bar{rm GM it}}][eqn: =2`:`1]

이고, 삼각형 [eqn: rm MBD`]와 삼각형 [eqn: rm MGE`]는 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm BD it}} `:` {bar{rm G rm E it}}][eqn: =3`:`1]

이다.

점 [eqn: rm B`]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 [eqn: 6 sqrt {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm G rm E it}} = {1} over {3} TIMES 6 sqrt {2}][eqn: = {BOX{~ ^{`} 2 {sqrt {2}} ^{`} ~}} `]

직선 [eqn: rmOA`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 직선 [eqn: rmOA`]의 방정식은 [eqn: y=mx], 즉 [eqn: mx-y=0`]이므로 점 [eqn: rmG`]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리는

[eqn: {{BOX{~ ^{`} LEFT | 8m-4 RIGHT | ^{`} ~}} `} over {sqrt {m ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}]

이고 [eqn: {BOX{~ ^{`} 2 {sqrt {2 }}^{`} ~}} `]와 같다. 즉,

[eqn: {{BOX{~ ^{`} LEFT | 8m-4 RIGHT | ^{`} ~}} `} over {sqrt {m ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: = {BOX{~ ^{`} 2 {sqrt {2}}^{`} ~}}],

[eqn: {BOX{~ ^{`} LEFT | 8m-4 RIGHT | ^{`} ~}} = {BOX{~ ^{`} 2 {sqrt {2 }}^{`} ~}} ` TIMES sqrt {m ^{2} +1}]

이다. 양변을 제곱하면

[eqn: LEFT ( 8m-4 RIGHT ) ^{2} =8 LEFT ( m ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: 7m ^{2} -8m+1=0]

[eqn: LEFT ( 7m-1 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT ) =0]

[eqn: m= {1} over {7}] 또는 [eqn: m=1]

이때 직선 [eqn: rmOG`]의 기울기가 [eqn: {1} over {2} `]이므로 [eqn: m< {1} over {2} `]을 만족시키는 직선 [eqn: rmOA`]의 기울기는 [eqn: {BOX{~ { {}^{`}1^{`} } over {7} ~}} `]이다.

따라서 [eqn: p=2 sqrt { 2}], [eqn: q= {1} over {7}], [eqn: f(m)= LEFT | 8m-4 RIGHT | `]이므로

[eqn: {f ( q )}over {p^2}][eqn: = {LEFT | 8 TIMES {1} over {7} -4 RIGHT |} over {LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {{20} over {7}} over {8}][eqn: = {5} over {14}]

19. [출제의도] 평행이동을 이용하여 유리함수의 그래프를 추론한다.

곡선 [eqn: y= LEFT | f(x+a)+ a over 2 RIGHT | `]는 곡선 [eqn: y=f(x+a)+ a over 2`]의 [eqn: x`]축 아래에 그려진 부분을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 것이고, 이 곡선이 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이려면 곡선 [eqn: y=f(x+a)+ a over 2`]의 점근선의 방정식은 그림과 같이 [eqn: x=0], [eqn: y=0`]이어야 함을 알 수 있다.

[eqn: f(x) = {a} over {x-6} +b`]에서

[eqn: f(x+a)+ a over 2][eqn: = {a} over {x+a-6} +b + a over 2]

이고 곡선 [eqn: y=f(x+a)+ a over 2`]의 점근선의 방정식은

[eqn: x=6-a], [eqn: y=b + a over 2]

이 점근선의 방정식이 [eqn: x=0], [eqn: y=0`]이어야 하므로

[eqn: 6-a=0], [eqn: b+ a over 2 =0]

[eqn: a=6], [eqn: b=it-3]

따라서 [eqn: f(x)= {6} over {x-6} -3`]이므로

[eqn: f(b)][eqn: =f(-3)]
[eqn: =it- {11} over {3}]

20. [출제의도] 인수분해를 이용하여 사차방정식의 근을 추론한다.

ㄱ. [eqn: x ^{4} + LEFT ( 3-2a RIGHT ) x ^{2} +a ^{2} -3a-10=0`]에서 [eqn: a=1`]이면
[eqn: x ^{4} +x ^{2} -12=0]
[eqn: LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) =0]
[eqn: LEFT ( x+ sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( x- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( x+2i RIGHT ) LEFT ( x-2i RIGHT ) =0]
[eqn: x=it- sqrt {3}] 또는 [eqn: x= sqrt {3}] 또는 [eqn: x=it-2i] 또는 [eqn: x=2i]
이때 실근은 [eqn: x=it- sqrt {3}] 또는 [eqn: x= sqrt {3} `]이므로
모든 실근의 곱은 [eqn: LEFT ( - sqrt {3} RIGHT ) TIMES sqrt {3} = it -3`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: x ^{4} + LEFT ( 3-2a RIGHT ) x ^{2} +a ^{2} -3a-10=0`]에서
[eqn: x ^{4} + LEFT ( 3-2a RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( a-5 RIGHT ) LEFT ( a+2 RIGHT ) =0]
[eqn: LEFT ( x ^{2} -a+5 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -a-2 RIGHT ) =0]
[eqn: x ^{2} =a-5] 또는 [eqn: x ^{2} =a+2]
[eqn: x ^{2} =a-5`]에서 [eqn: a-5 GEQ 0`]이면 실근을 갖고
[eqn: a-5<0`]이면 허근을 갖는다.
[eqn: x ^{2} =a+2`]에서 [eqn: a+2 GEQ 0`]이면 실근을 갖고
[eqn: a+2<0`]이면 허근을 갖는다.
방정식 [eqn: x ^{4} + LEFT ( 3-2a RIGHT ) x ^{2} +a ^{2} -3a-10=0`]이
실근과 허근을 모두 가지므로
[eqn: a+2 GEQ 0], [eqn: a-5<0]
에서
[eqn: -2{le}a<5]
[eqn: -2<a<5`]일 때 방정식의 실근은
[eqn: x= it - sqrt {a+2}] 또는 [eqn: x= sqrt {a+2}]
이고, [eqn: a=it-2`]일 때
[eqn: x=0]
또, [eqn: -2 LEQ a<5`]일 때 방정식의 허근은
[eqn: x=it- sqrt {5-a} i] 또는 [eqn: x= sqrt {5-a} i]
이다. 이때 모든 실근의 곱이 [eqn: -4`]이려면 방정식의 실근은
[eqn: x= it - sqrt {a+2}] 또는 [eqn: x= sqrt {a+2}]
[eqn: LEFT ( - sqrt {a+2} RIGHT ) TIMES sqrt {a+2} = it -4]
[eqn: a+2=4], [eqn: a=2]
이므로 방정식의 허근은
[eqn: x= it - sqrt {3} i] 또는 [eqn: x= sqrt {3} i]
이다.
따라서 모든 허근의 곱은
[eqn: LEFT ( - sqrt {3} i RIGHT ) TIMES sqrt {3} i=3]
이다. (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: -2 LEQ a<5`]이고 [eqn: 0 LEQ sqrt {a+2} < sqrt {7} `]이므로
방정식이 가질 수 있는 정수인 근은 [eqn: sqrt {a+2} `]의 값이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2`]일 때이다. 즉,
[eqn: sqrt {a+2} =0`]일 때 [eqn: a=it-2]
[eqn: sqrt {a+2} =1`]일 때 [eqn: a= it -1]
[eqn: sqrt {a+2} =2`]일 때 [eqn: a=2]
따라서 정수인 근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값이 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 2`]이므로 그 합은 [eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -1 RIGHT ) +2= it -1`]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

21. [출제의도] 평행이동을 이용하여 넓이의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다.

세 점 [eqn: rm O], [eqn: rm A], [eqn: rm B`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: t`]만큼 평행이동한 점을 각각 [eqn: rm O _{1}], [eqn: rm A prime], [eqn: rm B'`]이라 하면

[eqn: rm O _{1} LEFT ( it t,```0 RIGHT )], [eqn: rm A prime LEFT ( it t,```1 RIGHT )], [eqn: rm B prime LEFT ( it -1+t,```0 RIGHT )]

세 점 [eqn: rm O], [eqn: rm C], [eqn: rm D`]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2t`]만큼 평행이동한 점을 각각 [eqn: rm O _{2}], [eqn: rm C prime], [eqn: rm D'`]이라 하면

[eqn: rm O _{2} LEFT ( it 0,```2t RIGHT )], [eqn: rm C prime LEFT ( it0,```-1+2t RIGHT )], [eqn: rm D prime LEFT ( it 1,```2t RIGHT )]

두 삼각형 [eqn: T _{1}], [eqn: T_2 `]의 내부의 공통부분이 육각형 모양이 되려면 선분 [eqn: rm A' B'`]이 두 선분 [eqn: rm O _{2} C prime], [eqn: rm O_2 D'`]과 [eqn: rm A prime], [eqn: rm B'`]이 아닌 두 점에서 만나야 한다. 또 선분 [eqn: rm C'D'`]이 두 선분 [eqn: rm O _{1} B prime], [eqn: rm O_1 A'`]과 [eqn: rm C prime], [eqn: rm D'`]이 아닌 두 점에서 만나야 한다.

선분 [eqn: rm A'B'`]이 두 선분 [eqn: rm O _{2} C prime], [eqn: rm O_2 D'`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]라 하고, 선분 [eqn: rm C'D'`]이 두 선분 [eqn: rm O _{1} B prime], [eqn: rm O_1 A'`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm R], [eqn: rm S`]라 하면

[eqn: rm P LEFT ( it 0,```1-t RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( it 3t-1,```2t RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( it 1-2t,```0 RIGHT )], [eqn: rm S LEFT ( itt,```3t-1 RIGHT )]

따라서 조건을 만족시키는 육각형이 만들어지려면

[eqn: (]점 [eqn: rm P`]의 [eqn: y`]좌표[eqn: )][eqn: <(]점 [eqn: rm O_2`]의 [eqn: y`]좌표[eqn: )]
[eqn: <(]점 [eqn: rm A'`]의 [eqn: y`]좌표[eqn: )]

이어야 하므로

[eqn: 1-t<2t<1]

[eqn: 1-t <2t`]에서 [eqn: t> {1} over {3}]

[eqn: 2t <1`]에서 [eqn: t< {1} over {2}]

두 부등식을 모두 만족시키는 [eqn: t`]의 값의 범위는

[eqn: {1} over {3} <t< {1} over {2}]

또한

[eqn: (]점 [eqn: rm C'`]의 [eqn: y`]좌표[eqn: )][eqn: <(]점 [eqn: rm O _{1} `]의 [eqn: y`]좌표[eqn: )]
[eqn: <(]점 [eqn: rm S`]의 [eqn: y`]좌표[eqn: )]

이어야 하고 위와 마찬가지로 [eqn: {1} over {3} <t< {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: a= {1} over {2}]

이때 두 선분 [eqn: rm A prime O _{1}], [eqn: rm O_2 D'`]의 교점을 [eqn: rm T`]라 하고, 육각형의 넓이를 [eqn: f(t)] [eqn: LEFT ( {1} over {3} <t< {1} over {2} RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: f(t)][eqn: =(]직사각형 [eqn: rm OO_1 T O_2`]의 넓이[eqn: )]
[eqn: -(]삼각형 [eqn: rm O_1 S R]의 넓이[eqn: )]
[eqn: -(]삼각형 [eqn: rm O_2 PQ]의 넓이[eqn: )]
[eqn: =t TIMES 2t-2 TIMES {1} over {2} LEFT ( 3t-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =it-7t ^{2} +6t-1]
[eqn: = it -7 LEFT ( t- {3} over {7} RIGHT ) ^{2} + {2} over {7}]

이므로 [eqn: f(t)`]는 [eqn: t= 3 over 7`]일 때 최대이고, 최댓값은

[eqn: M= {2} over {7}]

따라서

[eqn: a+M][eqn: = {1} over {2} + {2} over {7}][eqn: = 11 over 14]

[보충 설명]

양의 실수 [eqn: t`]의 값의 범위에 따른 두 삼각형 [eqn: T _{1}], [eqn: T_2 `]는 다음과 같다.

[eqn: 0<t < 1 over 3`]일 때	[eqn: t= 1 over 3`]일 때

[eqn: 1 over 3 <t < 1 over 2 `]일 때	[eqn: t= {1} over {2} `]일 때

[eqn: 1 over 2 < t< 2 over 3`]일 때	[eqn: t = 2 over 3`]일 때

[eqn: t > 2 over 3`]일 때

22. [출제의도] 순열의 수를 계산한다.

[eqn: {}_{3} rmP _{2} =3 TIMES 2=6]

23. [출제의도] 합집합의 원소의 개수를 계산한다.

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]
[eqn: =12+25-4][eqn: =33]

24. [출제의도] 원의 방정식을 이해하여 원의 넓이를 구한다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x+6y=0`]에서

[eqn: x ^{2} -8x+16+y ^{2} +6y+9=25]

[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+3 RIGHT ) ^{2} =5 ^{2}]

따라서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x+6y=0`]은 중심의 좌표가

[eqn: LEFT ( 4,```-3 RIGHT ) `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5`]이므로 원의 넓이는

[eqn: 5 ^{2} TIMES pi=25pi]

따라서 [eqn: k=25`]이다.

25. [출제의도] 다항식의 곱셈을 이해하여 식의 값을 구한다.

[eqn: LEFT ( x-y-2z RIGHT ) ^{2}][eqn: =x ^{2} +y ^{2} +4z ^{2} -2xy+4yz-4zx]
[eqn: =x ^{2} +y ^{2} +4z ^{2} -2 LEFT ( xy-2yz+2zx RIGHT )]
[eqn: =62-2 TIMES 13]
[eqn: =36]

[보충 설명]

[eqn: x=7], [eqn: y= it -2], [eqn: z= {3} over {2} `]일 때 주어진 식이 성립한다.

26. [출제의도] 근과 계수의 관계를 이해하여 식의 값을 구한다.

방정식 [eqn: x ^{3} +x-2=0`]에 [eqn: x=1`]을 대입하면 등식이 성립하므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: 1]	[eqn: 1`]	[eqn: 0`]	[eqn: 1]	[eqn: -2]
		[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
	[eqn: 1`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 0`]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+2 RIGHT ) =0]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+2=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D][eqn: =1 ^{2} -4 TIMES 1 TIMES 2][eqn: =it-7<0]

즉, 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+2=0`]이 허근을 가지므로 [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+2=0`]의 두 허근이다.

근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =it-1], [eqn: alpha beta =2]

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{`3}][eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{3} -3 alpha beta LEFT ( alpha + beta RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} -3 TIMES 2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) +6][eqn: =5]

[다른 풀이]

방정식 [eqn: x ^{3} +x-2=0`]에 [eqn: x=1`]을 대입하면 등식이 성립하므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: 1]	[eqn: 1`]	[eqn: 0`]	[eqn: 1]	[eqn: -2]
		[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
	[eqn: 1`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 0`]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+2 RIGHT ) =0]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+2=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D][eqn: =1 ^{2} -4 TIMES 1 TIMES 2][eqn: =it-7<0]

즉, 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+2=0`]이 허근을 가지므로 [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+2=0`]의 두 허근이다.

근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =it-1]

또한 [eqn: alpha], [eqn: beta`]는 [eqn: x ^{3} +x-2=0`]의 근이므로

[eqn: alpha ^{3} + alpha -2=0`]에서 [eqn: alpha ^{3} = it - alpha +2]

[eqn: beta ^{`3} + beta -2=0`]에서 [eqn: beta ^{`3} =it- beta +2]

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{`3}][eqn: = LEFT ( - alpha +2 RIGHT ) + LEFT ( - beta +2 RIGHT )]
[eqn: =it- LEFT ( alpha+beta RIGHT ) +4]
[eqn: = it - LEFT ( -1 RIGHT ) +4][eqn: =5]

27. [출제의도] 명제의 참, 거짓을 이해하여 조건을 만족시키는 최솟값을 구한다.

명제

‘어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x^2 +8x+2k-1 le 0`]이다.’

가 거짓이려면 이 명제의 부정

‘모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x^2 +8x+2k-1 > 0`]이다.’

가 참이어야 하므로 이차방정식 [eqn: x^2 + 8x+2k-1 =0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 할 때, [eqn: D<0`]이어야 한다.

[eqn: D over 4][eqn: =4 ^{2} -(2k-1)<0]

[eqn: k> {17} over {2}]

이므로 정수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 9`]이다.

28. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 부분집합의 개수를 추론한다.

주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2 RIGHT } `]이므로 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: 2 IN X`]인 경우
이때 [eqn: X SMALLINTER A != EMPTYSET], [eqn: X SMALLINTER B != EMPTYSET `]을 만족시킨다.
그러므로 집합 [eqn: X`]는 전체집합 [eqn: U`]의 [eqn: 2`]가 아닌 원소인 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5`]의 일부 또는 전부를 원소로 갖거나 어느 것도 원소로 갖지 않을 수 있다. 따라서 [eqn: 2 IN X`]인 경우의 집합 [eqn: X`]의 개수는 집합
[eqn: LEFT { 1,```3,```4,```5RIGHT }]
의 부분집합의 개수와 같으므로
[eqn: 2 ^{4}][eqn: =16]

(ⅱ) [eqn: 2 NOTIN X`]인 경우
[eqn: 2`]를 제외한 집합 [eqn: A`]의 원소는 [eqn: 1`]이고, [eqn: 2`]를 제외한 집합 [eqn: B`]의 원소는 [eqn: 3], [eqn: 4`]이므로 [eqn: X SMALLINTER A != EMPTYSET], [eqn: X SMALLINTER B != EMPTYSET `]을 만족시키려면 집합 [eqn: X`]는 [eqn: 1`]을 반드시 원소로 갖고 [eqn: 3] 또는 [eqn: 4`]를 원소로 가져야 한다.
이때 [eqn: 1inX], [eqn: 3inX], [eqn: 4notinX`]인 경우와 [eqn: 1inX], [eqn: 3 NOTIN X], [eqn: 4 IN X`]인 경우와 [eqn: 1inX], [eqn: 3inX], [eqn: 4 IN X`]인 경우의 [eqn: 3`]가지 경우가 있다.
이때 각 경우에서 집합 [eqn: X`]는 집합 [eqn: LEFT ( A CUP B RIGHT ) ^{C} `]의 원소인 [eqn: 5`]를 원소로 갖거나 갖지 않을 수 있다.
따라서 [eqn: 2 NOTIN X`]인 경우의 집합 [eqn: X`]의 개수는
[eqn: 3times2][eqn: =6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는

[eqn: 16+6][eqn: =22]

29. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다.

꽃 [eqn: 4`]송이와 초콜릿 [eqn: 2`]개를 조건을 만족시키도록 [eqn: 5`]명의 학생에게 나누어 주는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 1`]명의 학생이 초콜릿 [eqn: 2`]개를 받는 경우
초콜릿 [eqn: 2`]개를 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 5`]이고, 나머지 [eqn: 4`]명의 학생에게 꽃을 각각 한 송이씩 나누어 주는 경우의 수는
[eqn: 4!][eqn: =4 TIMES 3 TIMES 2times1][eqn: =24]
이므로 [eqn: 1`]명의 학생이 초콜릿 [eqn: 2`]개를 받는 경우의 수는 [eqn: 5times 24][eqn: =120]

(ⅱ) [eqn: 1`]명의 학생이 꽃 [eqn: 2`]송이를 받는 경우
[eqn: 4`]송이의 꽃 중에서 [eqn: 2`]송이의 꽃을 고르는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} {RMC} _{2}][eqn: = {4times3} over {2times1}][eqn: =6`]
이고, 이 [eqn: 2`]송이의 꽃을 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 5], 남은 두 송이의 꽃을 줄 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} {RMP} _{2}][eqn: =4times3][eqn: =12]
이고 꽃을 받지 못한 [eqn: 2`]명의 학생에게 초콜릿을 각각 [eqn: 1`]개씩 주는 경우의 수가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: 1`]명의 학생이 꽃 [eqn: 2`]송이를 받는 경우의 수는
[eqn: 6times5times12times1][eqn: =360]

(ⅲ) [eqn: 1`]명의 학생이 꽃 [eqn: 1`]송이와 초콜릿 [eqn: 1`]개를 받는 경우
[eqn: 4`]송이의 꽃을 [eqn: 4`]명의 학생에게 각각 [eqn: 1`]송이씩 주는 경우의 수는
[eqn: {}_{5} {RMP} _{4}][eqn: =5 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 2][eqn: =120]
이고 꽃을 받지 못한 학생에게 초콜릿 [eqn: 1`]개를 주고 꽃을 받은 학생 중 [eqn: 1`]명을 택해 남은 초콜릿 [eqn: 1`]개를 주는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} {RMC} _{1}][eqn: =4`]
이므로 [eqn: 1`]명의 학생이 꽃 [eqn: 1`]송이와 초콜릿 [eqn: 1`]개를 받는 경우의 수는
[eqn: 120times4][eqn: =480]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 120+360+480][eqn: =960]

30. [출제의도] 무리함수의 역함수의 그래프를 이용하여 교점의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)= sqrt {ax-3} +2`][eqn: LEFT ( x GEQ {3} over {a} RIGHT ) `]에서

[eqn: f` ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {a} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + {3} over {a} `][eqn: LEFT ( x GEQ 2 RIGHT ) `]이므로

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 함수 [eqn: y=f` ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 [그림 1]과 같다.

[그림 1]

함수 [eqn: g(x)= {cases{`f(x) _{{}_{pile{`#`}}}&~ LEFT ( `f(x)`<f` ^{-1} (x)`인```경우 RIGHT ) _{{}_{pile{`#`}}}#`f` ^{-1} (x) _{`}&~ LEFT ( `f(x) GEQ f` ^{-1} (x)`인```경우 RIGHT ) _{`}}} `]는 [eqn: x GEQ 2`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)`]와 [eqn: f` ^{-1} (x)] 중 크지 않은 값이므로 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 개형은 [그림 2]와 같다.

[그림 2]

[eqn: f(x)<f` ^{-1} (x)`]인 경우, 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-n`]이 만나는 서로 다른 점의 개수는 항상 [eqn: 1`]이다.

따라서 [eqn: f(x) GEQ f` ^{-1} (x)`]일 때 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-n`]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 이에 따른 [eqn: h(n)`]은 다음과 같다.

(ⅰ) 교점의 개수가 [eqn: 1`]인 경우

[그림 3]과 같이 직선 [eqn: y=x-n`]이
함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프에 접하는 경우

[그림 3]

[eqn: {1} over {a} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + {3} over {a} =x-n`]에서
[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +3=ax-an]
[eqn: x ^{2} - LEFT ( a+4 RIGHT ) x+an+7=0`]
[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a+4 RIGHT ) x+an+7=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: D= LEFT { - LEFT ( a+4 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -4 LEFT ( an+7 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: a ^{2} +8a-12-4an=0]
이므로
[eqn: n=2- {3} over {a} + {a} over {4}]
[그림 4]와 같이 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,``` {3} over {a} RIGHT ) `]이 직선 [eqn: y=x-n`]의 아랫부분에 있는 경우

[그림 4]

[eqn: x`]좌표가 [eqn: 2`]일 때 직선 [eqn: y=x-n`]의 [eqn: y`]좌표인 [eqn: 2-n`]이 [eqn: f` ^{-1} (2)= {3} over {a} `]보다 크므로
[eqn: {3} over {a} <2-n]
[eqn: n<2- {3} over {a}]
따라서 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-n`]이 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 1`]인 자연수 [eqn: n`]의 값의 범위는
[eqn: n=2- {3} over {a} + {a} over {4}] 또는 [eqn: n<2- {3} over {a}]
이고 이때 [eqn: h(n)=2`]이다.

(ⅱ) 교점의 개수가 [eqn: 2`]인 경우
[그림 5]와 같이 직선 [eqn: y=x-n`]이
함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프에 접하고 기울기가 [eqn: 1`]인 직선의 윗부분에 있고, 직선 [eqn: y=x-n`]이 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,``` {3} over {a} RIGHT ) `]을 지나거나 점 [eqn: LEFT ( 2,``` {3} over {a} RIGHT ) `]이 직선 [eqn: y=x-n`]의 윗부분에 있는 경우이다.

[그림 5]

함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프에 접하고 기울기가 [eqn: 1`]인 직선 [eqn: y=x-2+ {3} over {a} - {a} over {4} `]의 [eqn: y`]절편인
[eqn: -2+ {3} over {a} - {a} over {4} `]가 직선 [eqn: y=x-n`]의 [eqn: y`]절편인 [eqn: -n`]보다 작으므로
[eqn: -n>-2+ {3} over {a} - {a} over {4}]
[eqn: n<2- {3} over {a} + {a} over {4}]
직선 [eqn: y=x-n`]이 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,``` {3} over {a} RIGHT ) `]을 지나면
[eqn: {3} over {a} =2-n]
[eqn: n=2- {3} over {a}]
점 [eqn: LEFT ( 2,``` {3} over {a} RIGHT ) `]이 직선 [eqn: y=x-n`]의 윗부분에 있는 경우는 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 2`]일 때 직선 [eqn: y=x-n`]의 [eqn: y`]좌표인 [eqn: 2-n`]이 [eqn: f` ^{-1} (2)= {3} over {a} `]보다 작으므로
[eqn: {3} over {a} >2-n]
[eqn: n>2- {3} over {a}]
따라서 함수 [eqn: y=f `^{-1} ( x )`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-n`]이 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 2`]인 자연수 [eqn: n`]의 값의 범위는
[eqn: 2- {3} over {a} LEQ n<2- {3} over {a} + {a} over {4}]
이고 이때 [eqn: h LEFT ( n RIGHT ) =3]이다.

(ⅲ) 교점이 없는 경우
[그림 6]과 같이 직선 [eqn: y=x-n`]이 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프에 접하고 기울기가 [eqn: 1`]인 직선의 아랫부분에 있는 경우이다.

[그림 6]

함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프에 접하고 기울기가 [eqn: 1`]인 직선 [eqn: y=x-2+ {3} over {a} - {a} over {4} `]의 [eqn: y`]절편인
[eqn: -2+ {3} over {a} - {a} over {4} `]가 직선 [eqn: y=x-n`]의 [eqn: y`]절편인 [eqn: -n`]보다 크므로
[eqn: -n<it-2+ {3} over {a} - {a} over {4}]
[eqn: n>2- {3} over {a} + {a} over {4}]
따라서 함수 [eqn: y=f` ^{-1} (x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-n`]이 만나는 점이 없는 자연수 [eqn: n`]의 값의 범위는
[eqn: n>2- {3} over {a} + {a} over {4}]
이고 이때 [eqn: h(n)=1`]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: h(n)= {cases{`2&&LEFT ( 0<n<2- {3} over {a} RIGHT )#`3&&LEFT ( 2- {3} over {a} LEQ n<2- {3} over {a} + {a} over {4} RIGHT )#`2&&LEFT ( n=2- {3} over {a} + {a} over {4} RIGHT )#`1&&LEFT ( n>2- {3} over {a} + {a} over {4} RIGHT )}}]

[eqn: h(1)=h(3)<h(2)`]를 만족시키려면

[eqn: h(1)=2], [eqn: h(3)=2], [eqn: h(2)=3`]이어야 한다.

즉

[eqn: 0<1<2- {3} over {a}] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: 2- {3} over {a} LEQ 2<2- {3} over {a} + {a} over {4}] [eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: 3=2- {3} over {a} + {a} over {4}] [eqn: cdotscdots] ㉢

㉢에서

[eqn: {a} over {4} - {3} over {a} -1=0]

[eqn: a ^{2} -4a-12=0]

[eqn: LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( a-6 RIGHT ) =0]

[eqn: a= it -2] 또는 [eqn: a=6]

이때 [eqn: a GEQ {3} over {2} `]이므로

[eqn: a=6]

[eqn: a=6`]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 0<1<2- {3} over {6} = {3} over {2}]

이므로 ㉠을 만족시키고,

[eqn: a=6`]을 ㉡에 대입하면

[eqn: 2- {3} over {6} LEQ 2<2- {3} over {6} + {6} over {4}]

[eqn: {3} over {2} LEQ 2<3]

이므로 ㉡을 만족시킨다.

따라서 조건을 만족시키는 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: a=6`]일 때인

[eqn: g(x)= {cases{` sqrt {6x-3} +2 _{{}_{pile{`#`}}}&& LEFT ( `f(x)`<f` ^{-1} (x)`인```경우 RIGHT ) _{{}_{pile{`#`}}}#` {1} over {6} (x-2) ^{2} + {1} over {2 _{`}}&& LEFT ( `f(x) GEQ f` ^{-1} (x)`인```경우 RIGHT ) _{`}}}]

이고, 이때 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 [그림 7]과 같다.

[그림 7]

[그림 8]과 같이 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하면

[그림 8]

[eqn: {1} over {6} LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} + {1} over {2} =k]

[eqn: k ^{2} -4k+7=6k]

[eqn: k ^{2} -10k+7=0]

[eqn: k>2`]이므로

[eqn: k=5+3 sqrt {2}]

따라서 함수 [eqn: g(x)`]는

[eqn: g(x)= {cases{` sqrt {6x-3} +2 _{{}_{pile{`#`}}}&~ LEFT ( `x>5+3 sqrt {2} RIGHT ) _{{}_{pile{`#`}}}#` {1} over {6} (x-2) ^{2} + {1} over {2 _{`}}&~ LEFT ( `2{le}x LEQ 5+3 sqrt {2} RIGHT ) _{`}}}]

이므로

[eqn: g(4)][eqn: = {1} over {6} LEFT ( 4-2 RIGHT ) ^{2} + {1} over {2}][eqn: = {7} over {6}]

따라서 [eqn: p=6], [eqn: q=7`]이므로

[eqn: p+q=13]