2020학년도 3월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

• 수학 영역 •

정 답

1	④	2	③	3	④	4	①	5	⑤
6	①	7	②	8	②	9	④	10	②
11	③	12	⑤	13	③	14	①	15	⑤
16	③	17	④	18	①	19	③	20	②
21	⑤	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 12]	25	[eqn: 15]
26	[eqn: 87]	27	[eqn: 14]	28	[eqn: 59]	29	[eqn: 162]	30	[eqn: 23]

해 설

1. [출제의도] 유리수의 연산 원리를 이용하여 식의 값을 계산한다.

[eqn: - {7} over {2} TIMES (-3)+4 TIMES LEFT ( - {5} over {2} RIGHT )][eqn: ={7 times 3} over 2} -4 times {5 over 2]
[eqn: ={21 over 2} -10]
[eqn: ={21 over 2} -{20 over 2}]
[eqn: ={1 over 2}]

2. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 계산한다.

[eqn: LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{3} ÷2 ^{10}][eqn: =2^12 div 2^10]
[eqn: =2^{12-10]
[eqn: =2^2][eqn: =4]

[보충 설명] 지수법칙

① [eqn: m], [eqn: n]이 자연수일 때 [eqn: a^m times a^n =a^m+n]

② [eqn: m], [eqn: n]이 자연수일 때 [eqn: left(a^m right)^n = a^mn]

③ [eqn: m], [eqn: n]이 자연수, [eqn: a!=0]일 때

[eqn: m>n]이면 [eqn: a^m div a^n =a^m-n]

[eqn: m=n]이면 [eqn: a^m div a^n = 1]

[eqn: m<n]이면 [eqn: a^m div a^n ={1} over {a^n-m]

④ [eqn: n]이 자연수일 때

[eqn: left(ab right)^n =a^n b^n]

[eqn: left(a over b right)^n = {a^n over b^n] (단, [eqn: b!=0])

3. [출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈을 이용하여 식을 간단히 한다.

[eqn: 3A-B][eqn: =3 LEFT ( 2a ^{2} +a RIGHT ) - LEFT ( 3a-1 RIGHT )]
[eqn: =6a^2 +3a - 3a+1]
[eqn: =6a^2 +1]

4. [출제의도] 일차부등식의 자연수인 해의 개수를 구한다.

[eqn: 5x-7` LEQ `23-x`]

[eqn: 5x+x le 23+7]

[eqn: 6x le 30]

[eqn: x le 5]

이를 만족시키는 자연수는

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]

이므로 구하는 개수는 [eqn: 5]이다.

5. [출제의도] 부채꼴의 넓이를 이해하여 부채꼴의 반지름의 길이를 구한다.

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하자.

중심각의 크기가 [eqn: 150°`]인 부채꼴의 넓이는

[eqn: pi r^2 times {150 over 360}]

주어진 조건에서 부채꼴의 넓이가 [eqn: 15 pi `]이므로

[eqn: pi r^2 times {150 over 360}=15pi]

[eqn: r^2 times {5 over 12} = 15]

[eqn: r^2 =36]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=6]

따라서 부채꼴의 반지름의 길이는 [eqn: 6`]이다.

[보충 설명] 부채꼴의 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 [eqn: r], 중심각의 크기가 [eqn: x°`]인 부채꼴의 호의 길이를 [eqn: l], 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: l=2pi r times {x over 360]

[eqn: S=pi r^2 times {x over 360]

[eqn: S={1 over 2} r l]

6. [출제의도] 함수의 뜻을 이해하고 함숫값을 구한다.

[eqn: f(3)=3]이므로

[eqn: f(x)=ax-9`]에 [eqn: x=3`]을 대입하면

[eqn: f(3)=3a-9=3]

[eqn: 3a=12], [eqn: a=4]

따라서 [eqn: f(x)=4x-9]

[eqn: f(4)][eqn: =4 TIMES 4-9]
[eqn: =16-9]
[eqn: =7]

7. [출제의도] 이차방정식의 해의 의미를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -7x+2a=0`]의 한 근이 [eqn: x= {1} over {2} `]이므로

[eqn: 2x ^{2} -7x+2a=0`]에 [eqn: x= {1} over {2} `]을 대입하면

[eqn: 2 times left(1 over 2 right) ^2 -7 times {1 over 2} +2a=0]

[eqn: 2 times {1 over 4} -7 times 1 over 2 +2a=0]

[eqn: 1 over 2 - 7 over 2 +2a=0]

[eqn: -3+2a=0]

[eqn: 2a=3]

[eqn: a={3 over 2}]

8. [출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 식의 값을 계산한다.

주어진 식에 [eqn: x=2-sqrt3]을 대입하면

[eqn: x ^{2} -4x][eqn: = LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT )]
[eqn: =4-4sqrt3 +3 -8 +4sqrt3]
[eqn: =it-1]

[다른 풀이]

[eqn: 2`]를 이항하면

[eqn: x-2=it- sqrt {3} `]

양변을 제곱하면

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( - sqrt {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: x ^{2} -4x+4=3]

따라서 [eqn: x ^{2} -4x=it-1]

[다른 풀이]

[eqn: x ^{2} -4x][eqn: =x LEFT ( x-4 RIGHT ) `]
[eqn: = LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( 2- sqrt {3} -4 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( -2- sqrt {3} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( - sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -2 ^{2}]
[eqn: =it-1`]

9. [출제의도] 삼각비와 닮음을 이용하여 선분의 길이를 구한다.

[eqn: rm triangle ABC]와 [eqn: rm triangle HDC]에서

[eqn: ANGLE rm A= ANGLE DHC=90°]

[eqn: rm angle C]는 공통이므로

[eqn: rm triangle ABC]와 [eqn: rm triangle HDC]는 닮음이다.

따라서

[eqn: ANGLE rm B= ANGLE CDH= it x°]이므로

[eqn: cos B=cos it `x°= rm {2} over {3}]

한편 [eqn: rm triangle ABC]에서 [eqn: cos B =rm {bar{BA}over{bar{BC}}={10} over {bar{BC}}]이므로

[eqn: rm {10} over {{bar{BC}}} = {2 over 3]

[eqn: rm 2 times bar{BC} = 10 times 3]

따라서 [eqn: rm bar{BC}=15]

10. [출제의도] 피타고라스 정리를 이해하여 주어진 식의 값을 구한다.

조건에서 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 대각선의 길이가 [eqn: sqrt {6} `]이므로 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서

[eqn: bar{rm AC} = sqrt 6], [eqn: rm bar{BC} =1]이므로

피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2}][eqn: rm = {bar{AC}} ^{2} - {bar{BC}} ^{2}]
[eqn: = left({sqrt6 }right)^2 -1^2]
[eqn: =6-1]
[eqn: =5]

따라서

[eqn: rm bar{AB}= sqrt5]

변 [eqn: rmDC`]의 길이와 변 [eqn: rmAB`]의 길이는 같으므로

[eqn: rm bar{DC}= bar{AB}= sqrt5]

[eqn: rm {bar{BP}} = {bar{BA}} =sqrt5]이므로

[eqn: p = 3-sqrt5]

[eqn: rm {bar{CQ}} = {bar{CD}} =sqrt5]이므로

[eqn: q=4+sqrt5]

따라서

[eqn: q-p][eqn: =4+ sqrt {5} -(3- sqrt {5} `)]
[eqn: =4+sqrt5 -3+sqrt5]
[eqn: =1+2sqrt5]

[다른 풀이]

위의 풀이에서 [eqn: rm bar{DC}= bar{AB}= sqrt5]

[eqn: q-p`]의 값은 선분 [eqn: rm PQ]의 길이와 같다.

[eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PB}} + {bar{BC}} + {bar{CQ}} `]이므로

각 선분의 길이를 구하면

[eqn: rmbar{PB} = bar{AB}=sqrt5]

[eqn: rm bar{BC } =1]

[eqn: rm bar{CQ}=bar{CD}= sqrt5]

따라서

[eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: =rm {bar{PB}} + {bar{BC}} + {bar{CQ}}]
[eqn: =sqrt 5 +1 + sqrt5]
[eqn: =1+2sqrt5]

11. [출제의도] 도수분포다각형을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

위의 도수분포다각형으로부터 도수분포표를 만들면 다음과 같다.

사용 시간	도수(명)
[eqn: 0`]이상～[eqn: 5`]미만	[eqn: 2`]
[eqn: ````5`]～[eqn: 10`]	[eqn: 6`]
[eqn: 10`]～[eqn: 15`]	[eqn: 7`]
[eqn: 15`]～[eqn: 20`]	[eqn: 11`]
[eqn: 20`]～[eqn: 25`]	[eqn: 7`]
[eqn: 25`]～[eqn: 30`]	[eqn: 5`]
[eqn: 30]～[eqn: 35]	[eqn: 2`]
합계	[eqn: 40`]

도수의 총합은

[eqn: 2+6+7+11+7+5+2=40`](명)

사용 시간이 [eqn: 10`]시간 미만인 학생의 수는

[eqn: 2+6=8`](명)

학생의 비율은

[eqn: {8} over {40} ` TIMES `100=20 ``LEFT ( % RIGHT )]

따라서 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 20`]이다.

12. [출제의도] 인수분해를 이용하여 직사각형의 둘레의 길이를 구한다.

모든 사각형의 넓이의 합은

[eqn: 3x ^{2} `+7x+2`=(3x+1)(x+2)]

이므로 만들어진 직사각형은 두 변의 길이가 각각 [eqn: x+2`]와 [eqn: 3x+1]인 직사각형이 된다.

위 도형을 모두 사용하여 직사각형을 만들면 다음과 같다.

따라서 둘레의 길이는

[eqn: 2 LEFT ( x+2 RIGHT ) `+`2 LEFT ( 3x+1 RIGHT ) =8x+6`]

13. [출제의도] 대푯값을 이해하여 자료를 추측하고 주어진 상수의 값을 구한다.

[eqn: a`]를 제외한 자료를 작은 값부터 크기 순서대로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8]

최빈값이 존재하기 위해서 [eqn: a`]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8`] 중에 하나가 되어야 한다. 이때, 중앙값이 될 수 있는 수는 [eqn: 3], [eqn: 4`] 중 하나이므로 [eqn: a=3`] 또는 [eqn: a=4`]이다.

[eqn: a=3`]이면 중앙값이 [eqn: 3`]이 되는데, 평균이 [eqn: {27} over {7} left( != 3right)`]이므로 [eqn: a!=3`]이다.

[eqn: a=4`]이면 중앙값이 [eqn: 4`]가 되고 평균 역시 [eqn: 4`]가 되어 모든 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: a=4`]

14. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 조건에 맞는 그래프의 모양을 구한다.

직선 [eqn: y=ax+b`]에서 기울기는 양수이고 [eqn: y`]절편은 음수이므로 [eqn: a>0`], [eqn: b<0`]이다.

직선 [eqn: y=c`]가 [eqn: y`]축과 만나는 점의 [eqn: y`]좌표가 음수이므로 [eqn: c<0`]이다.

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c`]의 그래프는

[eqn: a>0`]이므로 아래로 볼록하고, [eqn: c<0]이므로 [eqn: y`]축과 음의 방향에서 만난다.

[eqn: y][eqn: =ax ^{2} +bx+c]
[eqn: =a LEFT ( x+ {b} over {2a} RIGHT ) ^{2} - {b ^{2} -4ac} over {4a} `]

축의 방정식은 [eqn: x=it- {b} over {2a} `]이고 [eqn: a>0`], [eqn: b<0`]이므로 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 양수이다.

따라서 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c`]의 그래프로 알맞은 것은 다음과 같다.

15. [출제의도] 삼각형의 넓이와 일차함수의 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

(ⅰ) [eqn: a> {2} over {3} `]일 때

[eqn: y=ax], [eqn: y= {2} over {3} x+2`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만날 때 두 직선과 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 6`]이므로 교점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 6`]이 되어야 한다. 이때, 교점의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 6`]이 된다. 따라서 [eqn: a`]의 값은 [eqn: a= {6} over {6} =1`]이다.

(ⅱ) [eqn: 0<a< {2} over {3} `]일 때

[eqn: y=ax], [eqn: y= {2} over {3} x+2`]가 제[eqn: 3`]사분면에서 만날 때 두 직선과 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 6`]이므로 교점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -6`]이 되어야 한다. 이때, 교점의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: -2``]가 된다.
따라서 [eqn: a`]의 값은 [eqn: a= {-2} over {-6} = {1} over {3} `]이다.

(ⅲ) [eqn: a LEQ 0`]일 때

[eqn: y=ax], [eqn: y= {2} over {3} x+2`]와 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이의 최댓값은 [eqn: 3`]이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

따라서 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은
[eqn: 1+ {1} over {3} = {4} over {3} `]

16. [출제의도] 미지수가 [eqn: 2]개인 연립일차방정식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: rm A`]가 이긴 횟수를 [eqn: a`], 비긴 횟수를 [eqn: b`]라 하면

[eqn: rm A`]가 진 횟수는 [eqn: 10-a-b`]이다.

[eqn: rmA`]가 얻은 점수는

[eqn: 4 TIMES a+2timesb+1times LEFT ( 10-a-b RIGHT ) =27]

[eqn: 3a+b`=17] …… ㉠

[eqn: RMB`]가 이긴 횟수는 [eqn: rmA`]가 진 횟수와 같으므로

[eqn: rmB`]가 얻은 점수는

[eqn: 4times LEFT ( 10-a-b RIGHT ) +2timesb+1timesa=21]

[eqn: 3a+2b=19] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a=5], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: RMA`]가 이긴 횟수는 [eqn: 5`]이다.

[다른 풀이]

가위바위보를 [eqn: 10`]번 하고 난 결과, [eqn: rmA`]의 점수가 [eqn: rmB`]의 점수보다 [eqn: 6`]점이 많다. 한 번의 가위바위보에서 이긴 사람과 진 사람의 점수 차이는 [eqn: 3`]점이므로 [eqn: rmA`]의 이긴 횟수는 [eqn: rmB`]가 이긴 횟수보다 [eqn: 2`]만큼 많다.

[eqn: rmA`]가 이긴 횟수를 [eqn: a`]라 하면 [eqn: rmB`]가 이긴 횟수는 [eqn: a-2`]이고 비긴 횟수는 [eqn: 10- LEFT ( a+a-2 RIGHT ) =12-2a`]이다.

따라서 가위바위보를 [eqn: 10`]번 하고 난 결과, [eqn: rmA`]의 점수는 [eqn: 27``]점이므로

[eqn: 4timesa+2times LEFT ( 12-2a RIGHT ) +1times LEFT ( a-2 RIGHT ) =27]

[eqn: a=5`]

따라서 [eqn: RMA`]가 이긴 횟수는 [eqn: 5`]이다.

17. [출제의도] 삼각형의 내심과 외심의 성질을 이용하여 각의 크기를 구한다.

[eqn: ANGLE rm OAB= it x°]라 하자.

외심의 성질에 의해 [eqn: BAR{RMOA}=BAR{RMOB}`]이고

삼각형 [eqn: RMOAB]는 이등변삼각형이므로 [eqn: ANGLE rm OBA= it x°]

[eqn: ANGLE RMOBA][eqn: =ANGLE RMIBO+ANGLE RMABI]
[eqn: =33°+ ANGLE rm ABI]

[eqn: ANGLE rm ABI= it x°-33°]

점 [eqn: RMI]는 삼각형 [eqn: RMABC]의 내심이므로

[eqn: ANGLE RMABI=ANGLEIBC], [eqn: ANGLE RMBAI=ANGLEIAC]

[eqn: ANGLE rm IBC= it x°-33°], [eqn: ANGLE rm IAC= it x°]

따라서

[eqn: ANGLE rm ABC][eqn: = ANGLE rm ABI+ ANGLE rm IBC]
[eqn: = LEFT ( x°-33° RIGHT ) + LEFT ( x°-33° RIGHT )]
[eqn: =2x°-66°]

삼각형 [eqn: RMABC`]는 [eqn: BAR{RMAB}=BAR{RMAC}`]인 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm ABC][eqn: =rm ANGLE ACB]
[eqn: =2x°-66°]

삼각형 [eqn: RMABC]의 내각의 합은 [eqn: 180°]이므로

[eqn: ANGLE rm ABC+ ANGLE ACB+ ANGLE BAC=180°]

[eqn: LEFT ( 2x°-66° RIGHT ) + LEFT ( 2x°-66° RIGHT ) +2x°][eqn: =180°]

[eqn: 6x°-132°=180°], [eqn: x°=52°]

따라서

[eqn: ANGLE rm A=2 it x°=104°]

[다른 풀이]

점 [eqn: rm I]는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내심이므로 직선 [eqn: rm AI`]는 [eqn: rm angle BAC]를 이등분한다.

삼각형 [eqn: rm ABC]는 [eqn: rm bar{AB} = bar{AC}]인 이등변삼각형이므로 직선 [eqn: rm AI`]는 밑변 [eqn: rm bar{BC}]를 수직이등분한다.

삼각형 [eqn: rm ABC]의 외심 [eqn: rmO`]는 변 [eqn: rmBC`]의 수직이등분선 위에 있으므로 점 [eqn: rmO`]는 직선 [eqn: rm AI`] 위에 있다.

[eqn: ANGLE rm ABI= it x°]라면

[eqn: ANGLE rm ABO= it x°+33°]

점 [eqn: rm O]는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 외심이므로

[eqn: rm bar{BO}=bar{AO}]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABO]는 이등변삼각형이다.

[eqn: rm ANGLE BAO][eqn: rm = ANGLE ABO]
[eqn: = it x°+33°]

[eqn: angle rm BIH]는 삼각형 [eqn: rm ABI]의 한 외각이므로

[eqn: ANGLE rm BIH][eqn: = it x°+(x°+33°)]
[eqn: =2x°+33°]

한편 점 [eqn: rm I]는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내심이므로

[eqn: rm ANGLE IBH= ANGLE ABI= it x°]

따라서 직각삼각형 [eqn: rm IBH]에서

[eqn: x°+(2x°+33°)+90°=180°]

[eqn: 3x°+123°=180°]

[eqn: 3x°=57°], [eqn: x°=19°]

한편

[eqn: ANGLE rm BAH][eqn: = it x°+33°]
[eqn: =19°+33°]
[eqn: =52°]

이므로

[eqn: ANGLE rm A=2 TIMES 52°=104°]

[다른 풀이]

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외접원과 직선 [eqn: rmAO`]의 교점을 [eqn: rmD`]라 하고 [eqn: rm angle IBC][eqn: = x °`]라 하면

[eqn: rm ANGLE OBC][eqn: =33°-x°]

점 [eqn: rmI`]가 삼각형 [eqn: rmABC `]의 내심이므로

[eqn: rm ANGLE ABC][eqn: =2x°`]

점 [eqn: rmO`]가 삼각형 [eqn: rmABC `]의 외심이고 직선 [eqn: rmAD`]는 변 [eqn: rmBC`]의 수직이등분선이므로

[eqn: rm angle BAD][eqn: =90°-2x°]

[eqn: rm ANGLE BOD`]는 삼각형 [eqn: rmABO`]의 한 외각이므로

[eqn: rm angle BOD][eqn: =90°-2x°+33°+x°]
[eqn: = 123°- x°]

[eqn: rm angle BAD]는 호 [eqn: rmBD`]에 대한 원주각, [eqn: rm angle BOD]는 호 [eqn: rmBD`]에 대한 중심각이므로

[eqn: rm angle BOD][eqn: rm =2 times ANGLE BAD`]

따라서

[eqn: 123°- x°][eqn: =2 TIMES LEFT ( 90°-2x RIGHT ° )`]
[eqn: =180°-4x°`]

[eqn: 3x°][eqn: =57°], [eqn: x°][eqn: =19°`]

따라서

[eqn: rm angle BAD][eqn: =90°-2x°`]
[eqn: =52°`]

이므로 [eqn: rm angle A][eqn: =104°`]

18. [출제의도] 소인수분해를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 수의 합을 추론한다.

[eqn: 382200]을 소인수분해하면

[eqn: 382200][eqn: =2^3 times 3 times 5^2 times 7 ^2 times13]

이므로 [eqn: 2]가 [eqn: 3]번, [eqn: 3]이 [eqn: 1]번, [eqn: 5]가 [eqn: 2]번, [eqn: 7]이 [eqn: 2]번, [eqn: 13]이 한 번 곱해진다. 따라서 지나갈 수 있는 타일의 최대 개수는 [eqn: 9]개이다. 또한 주어진 도로망에서 [eqn: 9], [eqn: 11], [eqn: 22`], [eqn: 17], [eqn: 19`]가 적힌 타일은 지날 수 없다.

따라서 지날 수 있는 타일은 그림과 같다.

[eqn: 382200`]에서 소인수 [eqn: 3`]과 [eqn: 13`]은 한 번씩만 곱해지므로 [eqn: 3]의 배수인 [eqn: 3] 또는 [eqn: 6`]이 적힌 타일 중 하나를 한 번, [eqn: 13`]이 적힌 타일을 한 번 지나야 한다.

따라서 지날 수 있는 경로는 다음과 같다.

(ⅰ) 처음에 [eqn: 2`]가 적힌 타일을 지나는 경우
반드시 [eqn: 3`]이 적힌 타일을 거쳐서 [eqn: 13`]이 적힌 타일을 지나야 한다.
이 경우 [eqn: 9`]개 이하의 타일을 지나는 경로는 없으므로 조건을 만족하는 경로는 없다.

(ⅱ) 처음에 [eqn: 6`]이 적힌 타일을 지나는 경우
두 번째로 지나는 타일에 적힌 수는 [eqn: 7`]이고 [eqn: 3]과 [eqn: 6]이 적힌 타일은 동시에 지날 수 없으므로 세 번째로 지나는 타일은 [eqn: 10`]이다.
[eqn: 6`]→[eqn: `7`]→[eqn: `10`]→[eqn: `7`]→[eqn: `CDOTS `]로 이동하는 경우 [eqn: rmB] 지점으로 이동하는 모든 경로는 [eqn: 7]을 추가로 한 번 이상 지나게 되므로 [eqn: 7]이 세 번 이상 곱해져서 조건을 만족하는 경로는 없다.
[eqn: 6`]→[eqn: `7`]→[eqn: `10`]→[eqn: `5`]→[eqn: `CDOTS `]로 이동하는 경우 [eqn: rmB] 지점으로 이동하는 모든 경로는 [eqn: 5]을 추가로 한 번 이상 지나게 되므로 [eqn: 5]가 세 번 이상 곱해져서 조건을 만족하는 경로는 없다.
[eqn: 6`]→[eqn: `7`]→[eqn: `10`]→[eqn: `2`]로 이동하는 경우 계속하여
[eqn: 6`]→[eqn: `7`]→[eqn: `10`]→[eqn: `2`]→[eqn: `7`]→[eqn: `13`]→[eqn: `5`]로 이동해야 한다. 이때 지나간 타일에 적힌 모든 수의 곱은 다음과 같다.
[eqn: 6 TIMES 7 TIMES 10 TIMES 2 TIMES 7 TIMES 13 TIMES 5][eqn: =2 ^{3} TIMES 3 TIMES 5 ^{2} TIMES 7 ^{2} TIMES 13`]
이 곱은 문제의 조건을 만족시킨다.
따라서 지나간 타일에 적힌 모든 수의 합은 다음과 같다.
[eqn: 6+7+10+2+7+13+5][eqn: =50]

(ⅲ) 처음에 [eqn: 4`]가 적힌 타일을 지나는 경우
[eqn: 3] 또는 [eqn: 6`]이 적힌 타일 중 하나를 한 번, [eqn: 13`]이 적힌 타일을 한 번 지나는 경로는 존재하지 않으므로 주어진 조건을 만족하는 경로는 없다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 합은 [eqn: 50``]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 382200]을 소인수분해하면

[eqn: 382200][eqn: =2^3 times 3 times 5^2 times 7 ^2 times13]

이므로 [eqn: 2]가 [eqn: 3]번, [eqn: 3]이 [eqn: 1]번, [eqn: 5]가 [eqn: 2]번, [eqn: 7]이 [eqn: 2]번, [eqn: 13]이 [eqn: 1]번 곱해진다. 또한 주어진 도로망에서 [eqn: 9], [eqn: 11], [eqn: 22`], [eqn: 17], [eqn: 19`]가 적힌 타일은 지날 수 없다. 따라서 지날 수 있는 타일은 다음 그림과 같다.

[eqn: rmB`]에서부터 지나온 자리를 거꾸로 찾아오면 맨 아래 줄의 [eqn: 13`]은 지날 수 없으므로 맨 윗줄의 [eqn: 13`]을 지나야한다. 따라서 경로의 마지막은 [eqn: 7`]→[eqn: `13`]→[eqn: `5`]이다. 이후 [eqn: 6] 또는 [eqn: 3`]을 지나야 하므로 세 번째 줄의 [eqn: 7`]을 지나야 하고, [eqn: 7`]을 지나기 위해서는 그 위의 [eqn: 10`]도 지나야 한다.

이미 [eqn: 5`]와 [eqn: 10`]을 지났으므로 [eqn: 5`]는 더 이상 지날 수 없다. 따라서 두 번째 줄의 [eqn: 2`]를 지나야 한다.

거쳐야 할 타일의 남은 수의 곱은 [eqn: 6`]뿐이므로 가능한 경로는 [eqn: 6`]을 지나는 경우뿐이다.

따라서 아래 그림과 같이 동그라미가 그려진 수를 따라가야 한다.

따라서 지나간 타일에 적힌 모든 수의 합은 다음과 같다.

[eqn: 6+7+10+2+7+13+5][eqn: =50]

19. [출제의도] 무리수의 값을 추측하여 조건에 맞는 값의 범위를 구한다.

[eqn: sqrt {4} `< sqrt7 < sqrt8 < sqrt9]이므로

[eqn: 2 < sqrt7 < 2sqrt2 < 3]

[eqn: a+2 < a+sqrt7 < a+2sqrt2 < a+3]

조건 (가)에서 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a+2>2]

[eqn: a<1]이므로 [eqn: a+3<4]

따라서

[eqn: 2<a+sqrt7 < a+2sqrt2 < 4]

조건 (나)에서

[eqn: a+sqrt7]과 [eqn: a+2sqrt2] 사이에 한 개의 정수가 있으려면 그 정수는 [eqn: 3]이어야 한다.

즉 [eqn: a+sqrt7 < 3< a+2sqrt2]

[eqn: a+sqrt7 <3]에서

[eqn: a<3-sqrt7] …… ㉠

[eqn: a+2sqrt2 >3]에서

[eqn: a>3-2sqrt2] …… ㉡

㉠, ㉡에서 구하는 [eqn: a]의 값의 범위는

[eqn: 3-2sqrt2 <a<3-sqrt7]

20. [출제의도] 도형의 닮음과 이차방정식을 이용하여 선분의 길이를 구하는 과정을 추론한다.

[eqn: bar{rmCR}=x`]라 하자.

두 직선 [eqn: rmAD], [eqn: RMBR`]가 평행하므로

[eqn: ANGLERMQAD =ANGLEQRB]

두 삼각형 [eqn: RMQDA], [eqn: RMQBR`]에서

[eqn: ANGLERMAQD=ANGLERMRQB]이므로

[eqn: TRIANGLE{RMQDA}`]와 [eqn: TRIANGLE{RMQBR}]는 닮음이다. ([eqn: RMRMAA] 닮음)

따라서 [eqn: {bar{rm AD it}} : {bar{rm RB it}} = {bar{rm AQ it}} : {bar{rm RQ}} `]

[eqn: {BOX{```2```}} `:x+2= {bar{rm AQ it}} : {bar{rm RQ it}}] …… ㉠

두 직선 [eqn: rmAD], [eqn: RMBR`]가 평행하므로

[eqn: ANGLE rm PAD= ANGLE PRC]

두 삼각형 [eqn: RMPCR], [eqn: rm PDA`]에서

[eqn: ANGLE rm APD= ANGLE rm RPC`]이므로

[eqn: TRIANGLE rm PCR``]와 [eqn: TRIANGLE rm PDA`]도 닮음이다. ([eqn: RMRMAA] 닮음)

따라서 [eqn: {bar{rm RC}} : {bar{rm AD it}} = {bar{rm RP it}} : {bar{rm AP it}}]

[eqn: x`:`2= {bar{rm RP it}} : {bar{rm AP it}}] …… ㉡

[eqn: {bar{rm AQ it}} = {bar{rm RP}} `]이므로

[eqn: {bar{rm AP it}}][eqn: = {bar{rm AQ it}} + {bar{rm QP it}}]
[eqn: = {bar{rm RP it}} + {bar{rm QP it}}]
[eqn: =BAR{RMRQ}`]

따라서

[eqn: x`:`2= {bar{rm RP it}} : {bar{rm AP it}} = {bar{rm AQ}} : {bar{rm RQ it}}]

㉠, ㉡에서

[eqn: x:2`=2:LEFT(x+2 RIGHT)`]

[eqn: x LEFT ( x+2 RIGHT ) =4]

[eqn: x ^{2} +2x-4=0]

[eqn: x=-1± sqrt {5} `]에서 [eqn: x>0`]이므로

[eqn: x= it{BOX{````-1+ sqrt {5}`````````}```}]

[eqn: TRIANGLE rm PCR`]와 [eqn: TRIANGLE rm PDA]에서

[eqn: {bar{rm CP it}} : {bar{rm CR it}} = {bar{rm DP it}} : {bar{rm DA it}}]

[eqn: {bar{rm CP it}} : itLEFT( -1+ sqrt {5} RIGHT)`=LEFT(2- {bar{rm CP } RIGHT)} `:`2]

[eqn: LEFT ( -1+SQRT5 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2-BAR{{RMCP}} RIGHT )=2`TIMES BAR{RMCP}]

[eqn: -2+2SQRT5 - LEFT ( -1+SQRT5 RIGHT ) TIMESBAR{RMCP} =2TIMESBAR{RMCP}]

[eqn: -2+2SQRT5 = LEFT ( 1+SQRT5 RIGHT ) TIMESBAR{RMCP}]

따라서

[eqn: BAR{RMCP}][eqn: = {-2+2SQRT5} over {1+SQRT5}]
[eqn: = {LEFT ( -2+2 sqrt {5} ` RIGHT ) LEFT ( 1- sqrt {5} ` RIGHT )} over {LEFT ( 1+ sqrt {5} ` RIGHT ) LEFT ( 1- sqrt {5} ` RIGHT )}]
[eqn: = {-12+4SQRT5} over {-4}]
[eqn: = it{BOX{`````````3- sqrt {5} `````````}}]

그러므로 [eqn: a=2], [eqn: b= it -1+ sqrt {5}], [eqn: c=3- sqrt {5} `]이므로

[eqn: a+b+c=4]

21. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 <보기>의 참, 거짓을 추론하여 판별한다.

ㄱ. 그림과 같이 원의 중심을 [eqn: rm O`]라 하면 부채꼴 [eqn: rm OEF`]의 중심각의 크기는
[eqn: ANGLERMEOF][eqn: =360° TIMES {3} over {12}][eqn: =90°]
한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 크기의 [eqn: {1} over {2} `]배이므로

[eqn: ANGLE`RMECF][eqn: = 1OVER2 TIMESANGLE rm EOF]
[eqn: = 1OVER2 TIMES 90°][eqn: =45°] (참)

ㄴ. [eqn: rm ANGLE AOE=60°]이므로
두 직선 [eqn: RMCE`]와 [eqn: RMAB`]의 교점을 [eqn: rm S`]라 하면

[eqn: rm {bar{ES}}][eqn: =6 TIMES sin``60°`]
[eqn: =6 TIMES {sqrt {3}} over {2}]
[eqn: =3 sqrt {3}]

[eqn: rm {bar{CE}}][eqn: =2 TIMES {bar{rmES}}]
[eqn: =6SQRT3] (참)

ㄷ. 직선 [eqn: rm EO`]가 원과 만나는 점을 [eqn: rmG`]라 하면
[eqn: rm ANGLE CED], [eqn: rm ANGLE {D} EG `]는 각각 호 [eqn: rmCD], 호 [eqn: rm DG `]의 원주각이므로
[eqn: rm ANGLE CED][eqn: rm = ANGLE D EG][eqn: =15°`]
삼각형 [eqn: rmOES `]에서 각의 이등분선의 성질에 의하여 [eqn: rm {bar{OP}} `:` {bar{PS}} `=` {bar{OE}} `:` {bar{ES}} `]
[eqn: rm {bar{OE}}][eqn: =6], [eqn: rm {bar{ES}}][eqn: =3 sqrt {3} `]이므로
[eqn: rm {bar{OP}} `:` {bar{PS}} `=`2`:` sqrt {3} `]

[eqn: rm {bar{PS}} `][eqn: = {sqrt {3}} over {2} TIMES {bar{rmOP}} `]

[eqn: rm {bar{OS}}][eqn: =6 TIMES cos`60°`]
[eqn: =6 TIMES {1} over {2}]
[eqn: =3]

[eqn: rm {bar{OP}} + {bar{PS}}][eqn: = rm {bar{OS}}][eqn: =3`]이므로
[eqn: LEFT ( 1+ {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) times rm {bar{OP}}][eqn: = LEFT ( {2+ sqrt {3}} over {2} RIGHT ) times rm {bar{OP}}][eqn: =3`]
[eqn: rm {bar{OP}}][eqn: =3 TIMES {2} over {2+ sqrt {3}}][eqn: =12-6 sqrt {3} `]
ㄱ에서 [eqn: rm ANGLE ECF][eqn: =45°`]
[eqn: rm {bar{SQ}}][eqn: = rm {bar{SC}}][eqn: =3 sqrt {3} `]
[eqn: rm {bar{QO}}][eqn: rm= {bar{QS}} - {bar{OS}}][eqn: =3 sqrt {3} -3`]
따라서

[eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: rm = {bar{OP}} + {bar{QO}}]
[eqn: = LEFT ( 12-6 sqrt {3} RIGHT ) + LEFT ( 3 sqrt {3} -3 RIGHT )]
[eqn: =9-3 sqrt {3}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: rm bar DE], [eqn: rm bar CF `]의 교점을 [eqn: rmR`]라 하고, [eqn: rm {arch{BF}} = {arch{BF prime }} `]이 되도록 점 [eqn: rmF'`]을 잡는다. 그러면 [eqn: rm bar EF' `]과 [eqn: rm bar AB `]의 교점은 점 [eqn: rmQ`]이다.

[eqn: rm ANGLE REF=60°], [eqn: rm ANGLE RFE=60°`]이므로 [eqn: rm triangle REF`]는 정삼각형이 되어 [eqn: rm ANGLE ERQ=60°`]이다.
[eqn: rm ANGLE DEF prime =30°`]이므로 [eqn: rm ANGLE RQE=90°`]이다.
따라서 [eqn: rm bar QR][eqn: = rm {bar{QF}} `]
원의 중심을 [eqn: rmO`]라 하면 [eqn: rm triangle OEF]는 [eqn: rm bar OE][eqn: = rm {bar{OF}}][eqn: =6]인 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar EF][eqn: = 6 sqrt { 2 }`]이다. [eqn: rm triangle REF`]가 정삼각형이므로 [eqn: rm bar QR][eqn: rm = {1} over {2}times{bar{RF}}][eqn: =3sqrt { 2}`]이다.
[eqn: rm ANGLE CQA][eqn: = rm angle EQA `]이므로
[eqn: rm ANGLE RQP][eqn: =45° `]이고 [eqn: rm ANGLE PRQ=60°`]
점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: rm bar QR]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하고 [eqn: rm bar PQ][eqn: =x`]라 하면
[eqn: rm bar QH][eqn: = rm {bar{PQ}} TIMES cos`45°`][eqn: = {x} over {sqrt {2}}]
[eqn: rm {bar{PH}}][eqn: = rm {bar{PQ}} TIMES sin`45°`][eqn: = {x} over {sqrt {2}}]
[eqn: rm {bar{PH}}][eqn: = rm {bar{RH}} TIMES tan`60°`][eqn: = sqrt {3} rm TIMES {bar{RH}} `]이므로
[eqn: rm {bar{RH}}][eqn: = {x} over {sqrt {6}} `]이다.
[eqn: rm {bar{QH}} + rm {bar{RH}}][eqn: = {x} over {sqrt {2}} + {x} over {sqrt {6}}][eqn: =3 sqrt {2}]이므로
이 식의 양변에 [eqn: sqrt {6} `]을 곱하여 정리하면
[eqn: LEFT ( sqrt {3} +1 RIGHT ) x][eqn: =6 sqrt {3} `]

[eqn: x][eqn: = {6 sqrt {3}} over {sqrt {3} +1}]
[eqn: = {6 sqrt {3} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {3} +1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )}]
[eqn: = {6 sqrt {3} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: =3 sqrt {3} LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )]
[eqn: =9-3 sqrt {3}]

22. [출제의도] 삼각비의 값을 계산한다.

[eqn: 6 TIMES sin`30°=6 TIMES {1} over {2} =3]

23. [출제의도] 이차함수의 최댓값과 최솟값을 이해하여 주어진 값을 구한다.

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2x+3+4k`]에서 식을 변형하면

[eqn: y][eqn: =x ^{2} +2x+3+4k`]
[eqn: =(x ^{2} +2x+1)-1+3+4k`]
[eqn: =(x+1) ^{2} -1+3+4k`]
[eqn: =(x+1) ^{2} +2+4k`]

따라서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +2x+3+4k`]의 최솟값은

[eqn: x=it-1`]일 때 [eqn: 2+4k`]이다.

최솟값이 [eqn: 30`]이므로

[eqn: 2+4k`=30]

[eqn: 4k`=28]

따라서 구하는 값은

[eqn: k`=7]

24. [출제의도] 함수의 그래프의 성질과 선분의 길이를 이용하여 주어진 값을 구한다.

점 [eqn: rmB`]는 함수 [eqn: y=it- {a} over {x} `]의 그래프 위의 점이므로 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표는 방정식 [eqn: y=it- {a} over {x} `]를 만족시킨다.

조건에서 점 [eqn: rm`A LEFT ( 3,`4 RIGHT ) `]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=it- {a} over {x} `]의 그래프와 만나는 점이 [eqn: rm`B`]이므로 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 3]이다.

[eqn: x=3]을 [eqn: y=it- {a} over {x} `]에 대입하면

점 [eqn: rmB`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: y= it - {a} over {3}]

따라서 선분 [eqn: rm`AB`]의 길이는

[eqn: 4- LEFT ( - {a} over {3} RIGHT )][eqn: =4+ {a} over {3}]

조건에서 [eqn: rm bar{ `AB}=8`]이므로

[eqn: 4+ {a} over {3} =8], [eqn: {a} over {3} =4]

따라서 구하는 값은 [eqn: a=12`]

25. [출제의도] 주어진 상황을 이해하고 이에 맞는 경우의 수를 구한다.

문화 체험의 날 오전에 가능한 체험은 미술관 관람, 고궁 관람, 야구 경기 관람, 박물관 견학의 [eqn: 4`]가지이다.

한편 오후에 가능한 체험은 전통 시장 방문, 뮤지컬 관람, 축구 경기 관람, 박물관 견학의 [eqn: 4`]가지이다.

오전과 오후에 각각 한 가지씩 선택하여 서로 다른 [eqn: 2`]가지를 체험하는 방법의 수는

[eqn: 4 TIMES 4=16`]

그런데 오전과 오후에 모두 박물관 견학을 선택하는 경우는 제외하여야 하므로 구하는 방법의 수는

[eqn: 16-1=15]

[다른 풀이]

그림을 이용하여 체험을 하는 방법의 수를 구하면 다음과 같다.

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 15`]이다.

26. [출제의도] 확률의 성질을 이용하여 주어진 사건의 확률을 구한다.

[eqn: rmA`]가 이기는 경우는 다음의 두 가지 경우이다.

(ⅰ) [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 동시에 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼내는 경우
[eqn: rmA`]가 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {9} over {10} `]이고, [eqn: rmB`]가 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {4} over {5} `]이다.
따라서 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 동시에 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼낼 확률은
[eqn: {9} over {10} TIMES {4} over {5} = {18} over {25}]

(ⅱ) [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 동시에 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼내는 경우
[eqn: rmA`]가 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {1} over {10} `]이고, [eqn: rmB`]가 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {1} over {5} `]이다.
따라서 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 동시에 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼낼 확률은
[eqn: {1} over {10} TIMES {1} over {5} = {1} over {50}]

(ⅰ)의 경우와 (ⅱ)의 경우는 동시에 일어나지 않으므로 구하는 확률은

[eqn: {18} over {25} + {1} over {50} = {37} over {50}]

따라서

[eqn: p=50`], [eqn: q=37`]이므로 [eqn: p+q=87]

27. [출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 직육면체의 부피가 자연수가 되는 실수의 값을 구한다.

세 모서리의 길이가 [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: sqrt {2} `]인 직육면체의 부피는

[eqn: 1 TIMES a TIMES sqrt {2} =a sqrt {2}]

주어진 조건에서 직육면체의 부피가 자연수가 되어야 하므로

[eqn: a sqrt {2} =n`] (단, [eqn: n`]은 자연수)

이라 놓을 수 있다.

[eqn: a= {n} over {sqrt {2}} = {n sqrt {2}} over {2}]

주어진 조건에서 [eqn: a`]는 [eqn: 10`] 이하의 실수가 되어야 하므로

[eqn: {n sqrt {2}} over {2} LEQ 10`]

[eqn: n sqrt {2} LEQ 20`]

[eqn: n LEQ {20} over {sqrt {2}} `]

이때 [eqn: {20} over {sqrt {2}} = {20 sqrt {2}} over {2} `=10 sqrt {2} `]이므로

[eqn: n LEQ 10 sqrt {2} `]

위 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하여 보자.

[eqn: LEFT ( 10 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =200`]이고

[eqn: 14 ^{2} =196], [eqn: 15 ^{2} =225`]

이므로

[eqn: 14<10 sqrt {2} <15`]

가 성립함을 알 수 있다.

따라서 [eqn: n LEQ 10 sqrt {2} `]를 만족시키는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 1`]부터 [eqn: 14`]까지이므로 구하는 실수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 14`]이다.

28. [출제의도] 연립일차부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

상자의 개수를 [eqn: x`]라 하자.

주어진 조건에서 한 상자에 초콜릿을 [eqn: 10`]개씩 담으면 초콜릿이 [eqn: 42`]개 남게 되므로 초콜릿의 개수는

[eqn: 10x+42`]이다.

또, 주어진 조건에서 한 상자에 초콜릿을 [eqn: 13`]개씩 담으면 빈 상자가 [eqn: 3`]개 남고, 한 상자는 [eqn: 13`]개가 되지 않으므로 [eqn: x-4`]개의 상자에는 초콜릿이 [eqn: 13`]개씩 담겨 있고 아직 상자에 들어가지 않은 초콜릿이 남아 있다. 따라서 다음과 같은 부등식이 성립한다.

[eqn: 13 LEFT ( x-4 RIGHT ) <10x+42]

위 부등식을 풀면

[eqn: 13x-52<10x+42]

[eqn: 13x-10x<42+52]

[eqn: 3x<94]

[eqn: x< {94} over {3}] …… ㉠

또, 주어진 조건에서 [eqn: x-3`]개의 상자에 초콜릿을 [eqn: 13`]개씩 담으면 한 개의 상자는 [eqn: 13`]개가 되지 않으므로 다음과 같은 부등식이 성립한다.

[eqn: 10x+42<13 LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: 10x+42<13x-39]

[eqn: 13x-10x>42+39]

[eqn: 3x>81]

[eqn: x> {81} over {3}]

[eqn: x>27] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 27<x< {94} over {3}]

이때 [eqn: 31< {94} over {3} <32`]이다.

따라서

[eqn: M=31], [eqn: m=28`]이므로 [eqn: M+m=59`]

29. [출제의도] 삼각형의 무게중심과 닮음을 이용하여 주어진 삼각형의 넓이를 구한다.

선분 [eqn: rm`AB`]의 중점을 [eqn: rm`M]이라 하면 무게중심의 성질에 의해 네 점 [eqn: rmC`], [eqn: rmG`], [eqn: rmP`], [eqn: rmM`]은 한 직선 위에 있다.

마찬가지로 선분 [eqn: rm `AC`]의 중점을 [eqn: rm `N]이라 하면 무게중심의 성질에 의해 네 점 [eqn: rm B`], [eqn: rmG`], [eqn: rm Q`], [eqn: rmN`]도 한 직선 위에 있다.

두 점 [eqn: rmM], [eqn: rm N`]은 각각 [eqn: rm bar AB], [eqn: rm bar AC `]의 중점이므로

[eqn: {bar{rm BC it}} □ {bar{rm MN it}} `]이다.

삼각형 [eqn: rm`MGN`]에서

[eqn: {bar{rm GP it}} `:` {bar{rm PM it}} = {bar{rm GQ it}} `:` {bar{rm QN it}} `]

이므로 [eqn: {bar{rm PQ it}} □ {bar{rm MN it}} `]이고 [eqn: {bar{rm PQ it}} □ {bar{rm BC it}} `]이다.

그러므로 두 삼각형 [eqn: rmGQP`], [eqn: rmGBC`]는 닮음이다.

이제 닮음비를 구해 보자.

점 [eqn: rm P`]가 삼각형 [eqn: rm ABG`]의 무게중심이므로

[eqn: {bar{rm GP it}} `:` {bar{rm PM it}} =2:1``]

[eqn: {bar{rm PM it}} =k``]라 하면 [eqn: {bar{rm GP it}} `=2k`], [eqn: {bar{rm GM it}} `=3k`]

점 [eqn: rmG`]가 삼각형 [eqn: rmABC`]의 무게중심이므로

[eqn: {bar{rm CG it}} `:` {bar{rm GM it}} =2:1``], [eqn: {bar{rm GM it}} `=3k`]에서 [eqn: {bar{rm CG it}} `=6k`]

따라서

[eqn: {bar{rm CG it}} `:` {bar{rm GP it}} =6k:2k``][eqn: =3:1]

이므로 [eqn: {bar{rm PQ it}} = {1} over {3} TIMES ` {bar{rm BC it}}]

선분 [eqn: rm `PQ`]의 중점을 [eqn: rm `H`]라 하고 선분 [eqn: rm `BC`]의 중점을 [eqn: rm `I`]라 하면 [eqn: {bar{rm GI it}} = {1} over {3} TIMES {bar{rm AI it}}]

두 삼각형 [eqn: rmGQP`], [eqn: rmGBC`]는 닮음이므로

[eqn: {bar{rm GH it}} = {1} over {3} TIMES ` {bar{rm GI it}} `]에서 [eqn: {bar{rm GH it}} = {1} over {9} TIMES ` {bar{rm AI it}} `]이므로

[eqn: {bar{rm HI it}}][eqn: rm= {bar{HG it}} + {bar{rm GI it}}]
[eqn: = {1} over {9} TIMES ` {bar{rm AI it}} + {1} over {3} TIMES {bar{rm AI it}}]
[eqn: = {4} over {9} TIMES {bar{rm AI it}}]

따라서 [eqn: {bar{rm AH it}} = {5} over {9} TIMES ` {bar{rm AI it}}]

즉, 삼각형 [eqn: rm APQ`]는 삼각형 [eqn: rmABC`]에 비해 밑변은 [eqn: {1} over {3} `]배, 높이는 [eqn: {5} over {9} `]배이므로 넓이는 [eqn: {5} over {27} `]배이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm APQ`]의 넓이의 [eqn: {27} over {5} `]배이므로 구하는 넓이는

[eqn: 30 TIMES {27} over {5} =162]

[다른 풀이]

변 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하면

점 [eqn: rmP`], [eqn: rmG`]는 중선 [eqn: rm CM`] 위의 점이고

[eqn: {bar{rm CG it}} `:` {bar{rm GM it}} =`2:`1`], [eqn: {bar{rm GP it}} `:` {bar{rm PM it}} =`2:`1`]이다.

따라서 [eqn: {bar{rm CG it}} `:` {bar{rm GP it}} :` {bar{rmPM}} =`6:`2`:1`]

마찬가지로 변 [eqn: rm AC`]의 중점을 [eqn: rm N`]이라 하면

[eqn: {bar{rm BG it}} `:` {bar{rm GQ it}} :` {bar{rm QN it}} =`6:`2`:1`]

[eqn: triangle rmGQP`]의 넓이를 [eqn: a`]라 하자.

[eqn: △rmGQP`]와 [eqn: △ rm GNM`]은 닮음이고 닮음비가 [eqn: 2`:`3`]이므로

[eqn: △ rm GNM= LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} it a`][eqn: = {9} over {4} it a`]

[eqn: △ rm GNM`]과 [eqn: △ rm GBC`]는 닮음이고 닮음비가 [eqn: 1`:`2`]이므로

[eqn: △ rm GBC=2 ^{2} times {9} over {4} it a`][eqn: =9a`]

[eqn: triangle rm MBC`]에서 [eqn: {bar{rm CG it}} `:` {bar{rm GM it}} =`2:`1`]이므로

[eqn: △ rm BGM= {1} over {2} TIMES △ rm GBC = {9} over {2} it a`], [eqn: △ rm AMG= {9} over {2} it a`]

[eqn: rm triangle AMG`]에서 [eqn: {bar{rm GP it}} `:` {bar{rm PM it}} =`2:`1`]이므로

[eqn: △ rm APG= {2} over {3} times△ rm AMG =3 it a`]

[eqn: rm □APGQ`][eqn: = rm TRIANGLE APG+ TRIANGLE AGQ]
[eqn: =6 it a`]

[eqn: rm TRIANGLE APQ][eqn: rm =□APGQ- TRIANGLE GQP`]
[eqn: =6a-a]
[eqn: =5a]
[eqn: =30]

따라서 [eqn: a=6`]이므로

[eqn: LEFT . △ rm ABC=3times △ rm GBC][eqn: =27a][eqn: =162]

30. [출제의도] 도형의 성질과 삼각비를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

그림에서 [eqn: rm {bar{B'E'}} `]과 [eqn: rm {bar{XH}} `]가 만나는 점을 [eqn: rmI`]라 하면

[eqn: rm {bar{NX}} □ ` {bar{EI}} `]이므로 사각형 [eqn: rm NXIE`]는 사다리꼴이다.

[eqn: rm {bar{B prime E prime }} `□` {bar{M prime N prime }} `]이므로

[eqn: rm ANGLE GXI= ANGLE GIX=45 °`]

[eqn: rmTRIANGLE GXI]는 [eqn: rm {bar{GX}} = {bar{GI}} `]인 이등변삼각형이다.

[eqn: rm 2` {bar{GX}} = {bar{GY}} `], [eqn: rm {bar{GY}} =2 sqrt {3}]이므로

[eqn: rm {bar{GX}} = {bar{GI}} = sqrt {3} `]

[eqn: rm {bar{IE}} = {bar{IE prime }} = {bar{G E prime }} - {bar{GI}} =4- sqrt {3} `]

[eqn: rm {bar{M prime N prime }} = {1} over {2} TIMES left( {bar{B primeE prime }} + {bar{AF }}right)`]이므로

[eqn: rm {bar{M prime N prime }} =6`]이다.

[eqn: rm {bar{NX}} = {bar{N prime X}} = {1} over {2} {bar{M'N'}} =3`]이므로

사다리꼴 [eqn: rm NXIE`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES left{3+left(4- sqrt {3} right)right} TIMES sqrt {3}][eqn: = {-3+7 sqrt {3}} over {2}] …… ㉠

[eqn: rm ANGLE EIE prime =90°`]이므로 [eqn: rm ANGLE EIH=45°`]이다.

점 [eqn: rmH`]에서 [eqn: rm {bar{EI}} `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmJ`]라 하면

[eqn: rm ANGLE HE prime I= ANGLE HEJ=60°`]

[eqn: {rm {bar{HJ}}} =h]라 하면

[eqn: rm bar EJ][eqn: = {h} over {tan`60°}], [eqn: rm {bar{JI}}][eqn: = {h} over {tan`45°}]

[eqn: rm {bar{EI}}][eqn: = rm {bar{EJ}} + rm {bar{JI}}][eqn: =4- sqrt {3} `]이므로

[eqn: h TIMES LEFT ( {1} over {tan`60°} + {1} over {tan`45°} RIGHT ) =4- sqrt {3}]

[eqn: h= {15-7 sqrt {3}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm EIH`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES left(4- sqrt {3} right) TIMES LEFT ( {15-7 sqrt {3}} over {2} RIGHT )][eqn: = {81-43 sqrt {3}} over {4}] …… ㉡

㉠, ㉡에서 구하는 넓이는

[eqn: 2 TIMES LEFT { LEFT ( {-3+7 sqrt {3}} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {81-43 sqrt {3}} over {4} RIGHT ) RIGHT }][eqn: = {75} over {2} - {29} over {2} sqrt {3}]

[eqn: a= {75} over {2} `], [eqn: b=it- {29} over {2}] 이므로

[eqn: a+b][eqn: = {75} over {2} + LEFT ( - {29} over {2} RIGHT ) =23]

[다른 풀이]

그림에서 두 사각형 [eqn: rmXNEH]와 [eqn: rm XN prime E prime H]는 합동이다.

[eqn: {bar{rm FE prime it}} `]의 연장선과 [eqn: {bar{rm M'N' it}} `]의 연장선이 만나는 점을 [eqn: rm P`]라 하면 삼각형 [eqn: rm E prime N prime P`]는 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각형이고 그 넓이는 [eqn: {1} over {2} times2times sqrt {3}][eqn: = sqrt {3} `]이다.

점 [eqn: rm H`]에서 [eqn: {bar{rm XP it}} `]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q`]라 하고 [eqn: {bar{rm QP it}} =x`]라 하자.

직각삼각형 [eqn: rm HQP`]에서

[eqn: rm ANGLE HPQ=60°`]이므로 [eqn: {bar{rm HQ it}} = sqrt {3} x]

직각삼각형 [eqn: rm HXQ`]에서 [eqn: rm ANGLE HXQ=45°`]이므로

[eqn: {bar{rm XQ it}}][eqn: = {bar{rm HQ it}} = sqrt {3} x]

[eqn: {bar{rm XP it}} it = {bar{rm XQ}} it + {bar{rmQP it}}][eqn: =x+ sqrt {3} x][eqn: =5`]이므로

[eqn: x= { 5} over { sqrt { 3} +1}][eqn: = {5 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2}]

삼각형 [eqn: rmHXP]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times {bar{rmXP}} times {bar{rmHQ}}][eqn: = {1} over {2} TIMES 5 TIMES sqrt {3} x`]
[eqn: = {5 sqrt {3}} over {2} x]
[eqn: = {5 sqrt {3}} over {2} TIMES {5 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {75-25 sqrt {3}} over {4} `]

사각형 [eqn: rm XN prime E prime H`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmHXP`]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rm E prime N prime P`]의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: {75-25 sqrt {3}} over {4} - sqrt {3}][eqn: = {75-29 sqrt {3}} over {4} `]

그러므로 구하는 도형의 넓이는

[eqn: 2 TIMES {75-29 sqrt {3}} over {4} `][eqn: = {75} over {2} `- {29} over {2} sqrt {3} `]

따라서 [eqn: a= {75} over {2}], [eqn: b=it- {29} over {2} `]이므로 [eqn: a+b=23`]

[다른 풀이]

그림에서 두 사각형 [eqn: rmXNEH]와 [eqn: rm XN prime E prime H]는 합동이다.

점 [eqn: rmE`prime`]을 지나고 직선 [eqn: rm XN`]에 평행한 직선이 [eqn: rm {bar{XN`prime}} `]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: rm bar{XH}`]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rm S`]라 하자.

직각삼각형 [eqn: rm XRS`]에서 [eqn: ANGLE rm SXR=45°], [eqn: rm {bar{XR}} =4`]이므로

삼각형 [eqn: rm XRS`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times4times4][eqn: =8`]

직각삼각형 [eqn: rmN`primeRE`prime`]에서

[eqn: rm {bar{N` prime R}} = {bar{XR}} - {bar{XN prime }} =4-3=1], [eqn: rm {bar{RE` prime }} = sqrt {3} `]이므로

삼각형 [eqn: rmN`primeRE`prime`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 1 TIMES sqrt {3}][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm HE prime `S`]에서 [eqn: ANGLE rm HSE` prime =45°], [eqn: ANGLE rm HE` prime S=30°]이므로

[eqn: ANGLE rm SHE` prime =105°`]이다.

삼각형 [eqn: rm HE prime S`]를 그리면 다음과 같다.

점 [eqn: rmH`]에서 변 [eqn: rm SE`prime`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm T`]라 하고 [eqn: {bar{rm ST it}} =x`]라 하자.

직각삼각형 [eqn: rm SHT`]에서 [eqn: rm ANGLE HST=45°`]이므로

[eqn: {bar{rm HT it}} =x]

직각삼각형 [eqn: rm HE`primeT`]에서 [eqn: ANGLE rm HE` prime T=30°]이므로

[eqn: {bar{rm E`primeT it}} = sqrt {3} x]

한편 [eqn: {bar{rm SE` prime it}} it = rm {bar{SR}} - {bar{RE prime }} =4- sqrt {3} `]이고

[eqn: {bar{rm SE`prime it}} it = {bar{rm ST it}} it + {bar{rm TE`prime it}}][eqn: =x+ sqrt {3} x`]이므로

[eqn: x+ sqrt {3} x=4- sqrt {3}]

[eqn: x= {4- sqrt {3}} over {sqrt {3} +1}][eqn: = {5 sqrt {3} -7} over {2}]

삼각형 [eqn: rm HE prime `S`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm SE`prime it}} TIMES {bar{rm HT it}}][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 4- sqrt {3} RIGHT ) TIMES {5 sqrt {3} -7} over {2}]
[eqn: = {27 sqrt {3} -43} over {4} `]

사각형 [eqn: rm XN prime E prime H]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm XRS`]의 넓이에서 두 삼각형 [eqn: rm N` prime RE` prime `]과 [eqn: rm HE prime `S`]의 넓이를 뺀 것과 같다.

[eqn: rm XN prime E prime H`]의 넓이는

[eqn: 8- LEFT ( {sqrt {3}} over {2} + {27 sqrt {3} -43} over {4} RIGHT )][eqn: = {75-29 sqrt {3}} over {4} `]

그러므로 구하는 도형의 넓이는

[eqn: 2 TIMES {75-29 sqrt {3}} over {4} `][eqn: = {75} over {2} `- {29} over {2} sqrt {3} `]

따라서 [eqn: a= {75} over {2} `], [eqn: b=it- {29} over {2} `]이므로 [eqn: a+b=23`]